Sorozatok
A kezdőértéket, a változás szabályát és a tag sorszámát külön kezeljük, hogy a távolabbi tagot és az összeget is helyesen számítsuk.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (3) →
Alapfogalmak, példákkal
Tag és sorszám
A sorozat tagjai rendezett helyekhez tartoznak. A sorszám a helyet, a tag értéke az ott álló számot mutatja.
A 4, 7, 10 sorozat harmadik tagja 10; a sorszáma 3.
Számtani sorozat
Számtani sorozatban minden következő tagot ugyanannyi hozzáadásával kapunk. Az első tagtól az n-edikig n − 1 lépés történik.
A 4, 7, 10, 13 sorozat különbsége 3. Ötödik tagja 4 + 4 · 3 = 16.
Mértani sorozat
Mértani sorozatban a következő tagot az előzőnek egy állandó q számmal való szorzásával kapjuk. A hányadossal való ellenőrzés csak nem nulla előző tag mellett használható.
A 3, 6, 12, 24 sorozatban q = 2. Nem 3-mal vagy 6-tal nő állandóan, hanem kétszereződik.
A lecke végére: Megkülönbözteted a számtani és mértani sorozatot, és a képletet a helyzethez kapcsolod.
Értsd meg az összefüggést!
Számtani sorozatban a szomszédos tagok különbsége állandó. Mértani sorozatban a következő tagot mindig ugyanazzal a számmal szorozva kapjuk; a hányados ott használható ellenőrzésre, ahol az előző tag nem nulla.
Az állandó összegű befizetés és az állandó százalékú gyarapodás ezért eltérő modellt ad.
Az n-edik tag nem az első n tag összege. Ha azt kérdezik, mennyit fizetsz a tizedik hónapban, egy tag kell; ha az első tíz hónap teljes befizetését, összegképlet.
A kezdőérték és az időpontok megnevezése különösen fontos kamatos kamatnál.
A képletekben az n − 1 azért jelenik meg, mert az első tagtól az n-edikig ennyi változás történik. Az ellenőrzést kezdd n = 1-gyel: a képletnek vissza kell adnia az első tagot.
Nézzük meg egy példán!
Számtani vagy mértani?
| Sorozat | Első tagok | Állandó kapcsolat | n-edik tag |
|---|---|---|---|
| Számtani | 2; 5; 8; 11 | Különbség: 3 | 2 + (n − 1) × 3 |
| Mértani | 2; 6; 18; 54 | Hányados: 3 | 2 × 3ⁿ⁻¹ |
A legfontosabb szabályok
- Írd a tagok közé a változást: +3, ·2, −1 stb.
- Ha egyetlen szabály nem működik, nézd külön a páros és páratlan sorszámú tagokat.
- Számtani sorozatnál: aₙ = a₁ + (n−1)d.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: egy számtani sorozat első tagja 5, különbsége 3. Mennyi a 10. tag?
1. Az első tagtól a tizedikig 9 lépés van.
2. A növekedés 9 · 3 = 27.
3. A tizedik tag 5 + 27 = 32.
Ellenőrzés: a kilencedik tag 29, és 29 + 3 = 32.
Részletes magyarázatok és példák
01Számtani és egyszerű mértani minták+
Számtani sorozatnál például 4, 7, 10, 13 esetén d = 3 a különbség. Mértaninál 3, 6, 12, 24 esetén q = 2 a szorzó.
Előbb mindegyik szomszédos párt vizsgáld meg; csak akkor alkalmazd a megfelelő képletet, ha a szabály valóban adott vagy igazolt.
02Különbségek és hányadosok vizsgálata+
Írd fel a különbségeket vagy, nem nulla tagoknál, a hányadosokat. A 2, 6, 12, 20 sorozat különbségei 4, 6, 8; ezek újabb különbsége 2.
A felismert egyszerű szabály szerint a következő különbség 10, így a következő tag 30.
03Váltakozó szabályok+
Váltakozó szabálynál két lépés ismétlődhet, vagy két sorozat fonódhat össze. A 2, 10, 4, 20, 6, 30 sorozat páratlan helyein 2, 4, 6, a páros helyeken 10, 20, 30 áll.
Írd külön a két sort, és így folytasd.
04Ábra- és alakzatsorozatok+
Ábrasorozatnál számold meg, mi marad meg és mi épül hozzá az előző alakzathoz. Egymás mellé tett, közös oldallal érintkező gyufanégyzetekhez 4, 7, 10 szál kell: az első 4 után minden új négyzet 3 szálat ad.
Az n-edik ábra így 3n + 1 szálból áll.
05Távolabbi tag meghatározása és ellenőrzése+
Számtani sorozatban aₙ = a₁ + (n−1)d, az első n tag összege Sₙ = n(a₁+aₙ)/2. Mértaniban aₙ = a₁qⁿ⁻¹, és q ≠ 1 mellett Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1); q = 1 esetén Sₙ = na₁.
A sorszámot ne keverd össze a tag értékével.
Lépésről lépésre, részletesen
Számtani és mértani sorozat, rekurzió és összegképletek+
- Explicit és rekurzív megadást használni.
- Sorozatösszeget indokolni és számítani.
A sorozat pozitív egész indexekhez rendelt értékekből áll. Explicit képletből közvetlenül számolunk, rekurzióból korábbi tagok segítségével.
Számtani sorozatban a különbség d állandó: aₙ=a₁+(n−1)d. Mértaniban a hányados q: aₙ=a₁qⁿ⁻¹.
Összegek és bizonyítás
Számtani sorozat első n tagját előre és visszafelé összeírva minden oszlop a₁+aₙ: 2Sₙ=n(a₁+aₙ). Mértaniban qSₙ−Sₙ=a₁(qⁿ−1), így q≠1-re Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1); q=1-re na₁.
A képletek külön kezelik a rendhagyó esetet.
Monotonitás és korlátosság
Számtani sorozat d előjele szerint nő, csökken vagy állandó. Mértani sorozatnál a₁ és q előjele is számít; negatív q váltakozó előjelet ad.
Korlátos sorozat tagjai egy véges intervallumban maradnak. A monotonitást aₙ₊₁−aₙ előjelével vagy pozitív tagoknál a hányadossal vizsgáljuk.
Kidolgozott példa
Egy sorban az első ülőhelyszám 12, minden következő sorban 2-vel több, összesen 15 sor van. Hány hely?
a₁=12,d=2,n=15.
a₁₅=12+14·2=40.
S₁₅=15(12+40)/2=390.
A 14 különbség azért helyes, mert az elsőtől a tizenötödikig 14 lépés van.
- Az n-edik tagban n−1 változás van, nem n.
Próbáld ki önállóan!
Számtani és mértani sorozat összegének bizonyítása+
- A tétel feltételeit és következtetését külön megfogalmazni.
- A bizonyítást indokolt lépésekben felépíteni és alkalmazni.
Számtani sorozatban a különbség állandó: aₙ=a₁+(n−1)d. Mértani sorozatban az egymás utáni szorzótényező állandó: aₙ=a₁qⁿ⁻¹.
Az összegképleteket a tagok párosítása, illetve az összeg q-szorosának kivonása adja.
Számtani összeg
Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ. Fordított sorrendben ugyanaz: Sₙ=aₙ+aₙ₋₁+…+a₁.
A két sor megfelelő tagjainak összege mindig a₁+aₙ, mert aₖ+aₙ₊₁₋ₖ=2a₁+(n−1)d. Az n oszlop miatt 2Sₙ=n(a₁+aₙ), tehát Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.
A bizonyítás páratlan n-nél is működik: nem az egy soron belüli párok számát kerekítjük, hanem két teljes sort adunk össze.
Mértani összeg és kivételek
Sₙ=a₁+a₁q+…+a₁qⁿ⁻¹. qSₙ=a₁q+…+a₁qⁿ. Kivonással (q−1)Sₙ=a₁(qⁿ−1). q≠1 mellett Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1). q=1-nél minden tag a₁, az összeg na₁; az osztást ekkor nem végezzük el.
Negatív q-ra a képlet ugyanúgy igaz, váltakozó előjelű tagokkal. q=0 esetén az első tag után nullák vannak, így Sₙ=a₁; az első tagot a megadott a₁ értékkel kezeljük.
Kidolgozott példa
Számítsd 5+8+…+62 és 3−6+12−24+48 értékét!
Az elsőben d=3; 62=5+(n−1)3 miatt n=20. S=20(5+62)/2=670.
A másodikban a₁=3,q=−2,n=5. S=3((−2)⁵−1)/(−3)=33.
Közvetlen ellenőrzés a másodikra: 3−6+12−24+48=33. Az első és utolsó tag átlaga 33,5, húsz taggal 670.
- Egy jól sikerült rajz vagy egyetlen számpélda nem bizonyít általános állítást.
- A megfordítás külön állítás; csak bizonyítás után használható.
Próbáld ki önállóan!
Sorozat megadása, tagképletének levezetése és alkalmazások+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Számsorozat a pozitív egész számokon értelmezett valós értékű függvény: n↦aₙ. Explicit képlet az indexből ad értéket, rekurzió kezdőadattal és korábbi tagokkal.
Néhány kezdőérték szabály nélkül nem határoz meg egyetlen folytatást.
Számtani levezetés
aₙ₊₁=aₙ+d-ből n−1 darab d hozzáadása ad aₙ=a₁+(n−1)d-t. Indukcióban a₁ helyes; aₙ₊₁=a₁+(n−1)d+d=a₁+nd. a₃=11, a₈=31 esetén öt lépés 20, d=4, a₁=3; S₈=8(3+31)/2=136.
Mértani levezetés
aₙ₊₁=q aₙ-ből n−1 szorzással aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Indukció: aₙ₊₁=q·a₁qⁿ⁻¹=a₁qⁿ. q=0-nál a₁ külön kezdőadat, minden további tag 0; nem értékelünk 0⁰-at.
Negatív q megengedett:2,−6,18,−54 q=−3-mal. A hányadosos ellenőrzéshez az előző tag nemnulla legyen.
Megadási mód és összeg
Kezdj 5-tel, majd adj hozzá 3-at: a₁=5, aₙ₊₁=aₙ+3, explicit aₙ=3n+2. a₁₀=32 egyetlen tag, S₁₀=185 a tíz tag összege. Mértani 3,6,12,…-nél a₆=96, S₆=189.
Kidolgozott példa
Számtani sorozat a₄=14, a₉=34. Határozd meg a₁, d és S₉ értékét!
Öt különbség 20, d=4.
a₁=14−3·4=2.
S₉=9(2+34)/2=162; visszaellenőrzés a₄=14, a₉=34.
- Tag és részletösszeg külön mennyiség.
- A kezdőadatot ne hagyd el.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy sorozat első tagja 7, minden következő tag 4-gyel nagyobb. Mennyi a tizedik tag és az első tíz tag összege?
A tizedik tagig kilenc növekedés van: a₁₀ = 7 + 9 · 4 = 43.
A számtani összegképlet szerint S₁₀ = 10 · (7 + 43)/2 = 250.
Az összeg ellenőrizhető párokból is: 7 + 43 = 50, 11 + 39 = 50, és összesen öt ilyen pár van.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
A 2, 6, 18, 54 sorozat számtani vagy mértani?
Megoldás és magyarázat
Mértani, hányadosa 3. A különbségek 4, 12 és 36, ezért nem számtani.
2. kérdés
A 10, 15, 20 sorozat számtani. Mi a hatodik tagja?
Megoldás és magyarázat
35. Az elsőtől a hatodikig öt lépés van, ezért 10 + 5 · 5 = 35.