Sorozatok
A kezdőértéket, a változás szabályát és a tag sorszámát külön kezeljük, hogy a távolabbi tagot és az összeget is helyesen számítsuk.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (9) →
Alapfogalmak, példákkal
Tag és sorszám
A sorozat tagjai rendezett helyekhez tartoznak. A sorszám a helyet, a tag értéke az ott álló számot mutatja.
A 4, 7, 10 sorozat harmadik tagja 10; a sorszáma 3.
Számtani sorozat
Számtani sorozatban minden következő tagot ugyanannyi hozzáadásával kapunk. Az első tagtól az n-edikig n − 1 lépés történik.
A 4, 7, 10, 13 sorozat különbsége 3. Ötödik tagja 4 + 4 · 3 = 16.
Mértani sorozat
Mértani sorozatban a következő tagot az előzőnek egy állandó q számmal való szorzásával kapjuk. A hányadossal való ellenőrzés csak nem nulla előző tag mellett használható.
A 3, 6, 12, 24 sorozatban q = 2. Nem 3-mal vagy 6-tal nő állandóan, hanem kétszereződik.
A lecke végére: Megkülönbözteted a számtani és mértani sorozatot, és a képletet a helyzethez kapcsolod.
Értsd meg az összefüggést!
Számtani sorozatban a szomszédos tagok különbsége állandó. Mértani sorozatban a következő tagot mindig ugyanazzal a számmal szorozva kapjuk; a hányados ott használható ellenőrzésre, ahol az előző tag nem nulla.
Az állandó összegű befizetés és az állandó százalékú gyarapodás ezért eltérő modellt ad.
Az n-edik tag nem az első n tag összege. Ha azt kérdezik, mennyit fizetsz a tizedik hónapban, egy tag kell; ha az első tíz hónap teljes befizetését, összegképlet.
A kezdőérték és az időpontok megnevezése különösen fontos kamatos kamatnál.
A képletekben az n − 1 azért jelenik meg, mert az első tagtól az n-edikig ennyi változás történik. Az ellenőrzést kezdd n = 1-gyel: a képletnek vissza kell adnia az első tagot.
Nézzük meg egy példán!
Számtani vagy mértani?
| Sorozat | Első tagok | Állandó kapcsolat | n-edik tag |
|---|---|---|---|
| Számtani | 2; 5; 8; 11 | Különbség: 3 | 2 + (n − 1) × 3 |
| Mértani | 2; 6; 18; 54 | Hányados: 3 | 2 × 3ⁿ⁻¹ |
A legfontosabb szabályok
- Írd a tagok közé a változást: +3, ·2, −1 stb.
- Ha egyetlen szabály nem működik, nézd külön a páros és páratlan sorszámú tagokat.
- Számtani sorozatnál: aₙ = a₁ + (n−1)d.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: egy számtani sorozat első tagja 5, különbsége 3. Mennyi a 10. tag?
1. Az első tagtól a tizedikig 9 lépés van.
2. A növekedés 9 · 3 = 27.
3. A tizedik tag 5 + 27 = 32.
Ellenőrzés: a kilencedik tag 29, és 29 + 3 = 32.
Részletes magyarázatok és példák
01Számtani és egyszerű mértani minták+
Számtani sorozatnál például 4, 7, 10, 13 esetén d = 3 a különbség. Mértaninál 3, 6, 12, 24 esetén q = 2 a szorzó.
Előbb mindegyik szomszédos párt vizsgáld meg; csak akkor alkalmazd a megfelelő képletet, ha a szabály valóban adott vagy igazolt.
02Különbségek és hányadosok vizsgálata+
Írd fel a különbségeket vagy, nem nulla tagoknál, a hányadosokat. A 2, 6, 12, 20 sorozat különbségei 4, 6, 8; ezek újabb különbsége 2.
A felismert egyszerű szabály szerint a következő különbség 10, így a következő tag 30.
03Váltakozó szabályok+
Váltakozó szabálynál két lépés ismétlődhet, vagy két sorozat fonódhat össze. A 2, 10, 4, 20, 6, 30 sorozat páratlan helyein 2, 4, 6, a páros helyeken 10, 20, 30 áll.
Írd külön a két sort, és így folytasd.
04Ábra- és alakzatsorozatok+
Ábrasorozatnál számold meg, mi marad meg és mi épül hozzá az előző alakzathoz. Egymás mellé tett, közös oldallal érintkező gyufanégyzetekhez 4, 7, 10 szál kell: az első 4 után minden új négyzet 3 szálat ad.
Az n-edik ábra így 3n + 1 szálból áll.
05Távolabbi tag meghatározása és ellenőrzése+
Számtani sorozatban aₙ = a₁ + (n−1)d, az első n tag összege Sₙ = n(a₁+aₙ)/2. Mértaniban aₙ = a₁qⁿ⁻¹, és q ≠ 1 mellett Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1); q = 1 esetén Sₙ = na₁.
A sorszámot ne keverd össze a tag értékével.
Lépésről lépésre, részletesen
Számtani és mértani sorozat, rekurzió és összegképletek+
- Explicit és rekurzív megadást használni.
- Sorozatösszeget indokolni és számítani.
A sorozat pozitív egész indexekhez rendelt értékekből áll. Explicit képletből közvetlenül számolunk, rekurzióból korábbi tagok segítségével.
Számtani sorozatban a különbség d állandó: aₙ=a₁+(n−1)d. Mértaniban a hányados q: aₙ=a₁qⁿ⁻¹.
Összegek és bizonyítás
Számtani sorozat első n tagját előre és visszafelé összeírva minden oszlop a₁+aₙ: 2Sₙ=n(a₁+aₙ). Mértaniban qSₙ−Sₙ=a₁(qⁿ−1), így q≠1-re Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1); q=1-re na₁.
A képletek külön kezelik a rendhagyó esetet.
Monotonitás és korlátosság
Számtani sorozat d előjele szerint nő, csökken vagy állandó. Mértani sorozatnál a₁ és q előjele is számít; negatív q váltakozó előjelet ad.
Korlátos sorozat tagjai egy véges intervallumban maradnak. A monotonitást aₙ₊₁−aₙ előjelével vagy pozitív tagoknál a hányadossal vizsgáljuk.
Kidolgozott példa
Egy sorban az első ülőhelyszám 12, minden következő sorban 2-vel több, összesen 15 sor van. Hány hely?
a₁=12,d=2,n=15.
a₁₅=12+14·2=40.
S₁₅=15(12+40)/2=390.
A 14 különbség azért helyes, mert az elsőtől a tizenötödikig 14 lépés van.
- Az n-edik tagban n−1 változás van, nem n.
Próbáld ki önállóan!
Százalék, kamatos kamat, járadék és hiteltörlesztés+
- Változásokhoz szorzótényezőt használni.
- Befizetés és kamatozás időrendjét rögzíteni.
p%-os növekedés szorzója 1+p/100, csökkenésé 1−p/100. Több egymás utáni változás szorzói összeszorzódnak.
Kamatos kamatnál Kₙ=K₀qⁿ; az egyszerű kamatnál csak az eredeti tőke kamatozik. Éves és havi ráta csak az adott modell szerinti átváltással helyettesíthető.
Rendszeres befizetés
n időszak végén azonos B összeg befizetése és időszakonkénti q kamatszorzó esetén az utolsó befizetés nem kamatozik: V=B(1+q+…+qⁿ⁻¹)=B(qⁿ−1)/(q−1). Időszak eleji befizetésnél az egész eredmény q-val szorzódik.
A q=1 eset V=nB.
Törlesztés és értelmezés
L hitel időszak végi azonos T törlesztése mellett az egyenleg rekurziója Lₖ=qLₖ₋₁−T. Lₙ=0-ból T=Lqⁿ(q−1)/(qⁿ−1).
A valós hitelköltség díjakat és feltételeket is tartalmazhat: a modellben megadott kamat nem automatikusan THM. Inflációnál reálváltozás szorzója a névleges szorzó osztva az árszínvonal szorzójával.
Kidolgozott példa
Minden év végén 10 000 Ft-ot teszünk be, évi 10% kamat mellett három évig. Mennyi van közvetlenül a harmadik befizetés után?
Az első befizetés kétszer, a második egyszer, a harmadik még nem kamatozott.
V=10 000(1,1²+1,1+1)=10 000·3,31=33 100 Ft.
Év eleji befizetésnél 36 410 Ft lenne; az időrend megváltoztatja a választ.
- A százalékos változásokat különböző alapokon nem adhatod egyszerűen össze.
Próbáld ki önállóan!
Számtani és mértani sorozat összegének bizonyítása+
- A tétel feltételeit és következtetését külön megfogalmazni.
- A bizonyítást indokolt lépésekben felépíteni és alkalmazni.
Számtani sorozatban a különbség állandó: aₙ=a₁+(n−1)d. Mértani sorozatban az egymás utáni szorzótényező állandó: aₙ=a₁qⁿ⁻¹.
Az összegképleteket a tagok párosítása, illetve az összeg q-szorosának kivonása adja.
Számtani összeg
Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ. Fordított sorrendben ugyanaz: Sₙ=aₙ+aₙ₋₁+…+a₁.
A két sor megfelelő tagjainak összege mindig a₁+aₙ, mert aₖ+aₙ₊₁₋ₖ=2a₁+(n−1)d. Az n oszlop miatt 2Sₙ=n(a₁+aₙ), tehát Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.
A bizonyítás páratlan n-nél is működik: nem az egy soron belüli párok számát kerekítjük, hanem két teljes sort adunk össze.
Mértani összeg és kivételek
Sₙ=a₁+a₁q+…+a₁qⁿ⁻¹. qSₙ=a₁q+…+a₁qⁿ. Kivonással (q−1)Sₙ=a₁(qⁿ−1). q≠1 mellett Sₙ=a₁(qⁿ−1)/(q−1). q=1-nél minden tag a₁, az összeg na₁; az osztást ekkor nem végezzük el.
Negatív q-ra a képlet ugyanúgy igaz, váltakozó előjelű tagokkal. q=0 esetén az első tag után nullák vannak, így Sₙ=a₁; az első tagot a megadott a₁ értékkel kezeljük.
Kidolgozott példa
Számítsd 5+8+…+62 és 3−6+12−24+48 értékét!
Az elsőben d=3; 62=5+(n−1)3 miatt n=20. S=20(5+62)/2=670.
A másodikban a₁=3,q=−2,n=5. S=3((−2)⁵−1)/(−3)=33.
Közvetlen ellenőrzés a másodikra: 3−6+12−24+48=33. Az első és utolsó tag átlaga 33,5, húsz taggal 670.
- Egy jól sikerült rajz vagy egyetlen számpélda nem bizonyít általános állítást.
- A megfordítás külön állítás; csak bizonyítás után használható.
Próbáld ki önállóan!
Százalékalap, százalékérték és változó alap+
- A három százalékmennyiséget megkülönböztetni.
- Fordított és egymás utáni változást értelmezni.
Az 1% a kijelölt alap századrésze. A alap és p százalékláb mellett a százalékérték V=A·p/100.
Ha A≠0, p=100V/A; ha p≠0, A=100V/p. A feladat előtt mondd meg, minek a százalékáról beszélsz.
Az alap nem mindig a legnagyobb megadott szám.
Három különböző kérdés
240 diák 15%-a 240·0,15=36 diák. Ha 36 diák az összes 15%-a, az összes 36/0,15=240.
Ha 240 diák közül 36 érintett, arányuk 36/240=0,15, vagyis 15%. A százalékláb mértékegység nélküli arány, a százalékérték az alap mértékegységét örökli.
Változás és visszaszámítás
p%-os növekedésnél az új érték A(1+p/100), csökkenésnél A(1−p/100). Ha egy 20%-kal leárazott termék 9600 Ft, a régi ár 9600/0,8=12000 Ft.
A 9600 Ft-hoz adott 20% csak 11520 Ft lenne; a visszatéréshez 25% emelés szükséges, mert az új alap kisebb.
Százalékpont és egymás utáni változás
Egy arány 20%-ról 25%-ra változása 5 százalékpont; az eredeti arányhoz mérten 25%-os relatív növekedés. Két egymás utáni változás szorzóit szorozzuk: 10% emelés és 10% csökkentés 1,1·0,9=0,99, összesen 1% csökkenés.
Különböző alapú százalékokat nem adunk össze.
Kidolgozott példa
Egy ár 25%-kal csökken, majd 20%-kal nő. A végső ár 18000 Ft.
Mennyi volt az eredeti ár, és mennyi az összes változás?
Az első szorzó 0,75, a második 1,2; együtt 0,9.
0,9A=18000, ezért A=20000 Ft. Az összes változás 10% csökkenés.
Ellenőrzés: 20000→15000→18000 Ft. Az 5 százalékpontos egyszerű különbség nem adja az árváltozást.
- Előbb azonosítsd a százalékalapot.
- A százalékpont és a relatív százalékos változás eltérő mennyiség.
Próbáld ki önállóan!
Sorozat megadása, tagképletének levezetése és alkalmazások+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Számsorozat a pozitív egész számokon értelmezett valós értékű függvény: n↦aₙ. Explicit képlet az indexből ad értéket, rekurzió kezdőadattal és korábbi tagokkal.
Néhány kezdőérték szabály nélkül nem határoz meg egyetlen folytatást.
Számtani levezetés
aₙ₊₁=aₙ+d-ből n−1 darab d hozzáadása ad aₙ=a₁+(n−1)d-t. Indukcióban a₁ helyes; aₙ₊₁=a₁+(n−1)d+d=a₁+nd. a₃=11, a₈=31 esetén öt lépés 20, d=4, a₁=3; S₈=8(3+31)/2=136.
Mértani levezetés
aₙ₊₁=q aₙ-ből n−1 szorzással aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Indukció: aₙ₊₁=q·a₁qⁿ⁻¹=a₁qⁿ. q=0-nál a₁ külön kezdőadat, minden további tag 0; nem értékelünk 0⁰-at.
Negatív q megengedett:2,−6,18,−54 q=−3-mal. A hányadosos ellenőrzéshez az előző tag nemnulla legyen.
Megadási mód és összeg
Kezdj 5-tel, majd adj hozzá 3-at: a₁=5, aₙ₊₁=aₙ+3, explicit aₙ=3n+2. a₁₀=32 egyetlen tag, S₁₀=185 a tíz tag összege. Mértani 3,6,12,…-nél a₆=96, S₆=189.
Kidolgozott példa
Számtani sorozat a₄=14, a₉=34. Határozd meg a₁, d és S₉ értékét!
Öt különbség 20, d=4.
a₁=14−3·4=2.
S₉=9(2+34)/2=162; visszaellenőrzés a₄=14, a₉=34.
- Tag és részletösszeg külön mennyiség.
- A kezdőadatot ne hagyd el.
Próbáld ki önállóan!
Sorozatjellemzés és határérték mind a négy művelettel+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
aₙ→L, ha minden ε>0-hoz van N pozitív egész, amelyre minden n>N esetén |aₙ−L|<ε. Nem néhány közel lévő tag, hanem minden későbbi tag számít.
Konvergens sorozat korlátos; monoton és korlátos valós sorozat konvergens, de e két tulajdonság külön-külön nem elég.
Monotonitás és küszöb
aₙ=2+3/n: aₙ₊₁−aₙ=−3/[n(n+1)]<0, szigorúan csökken,2<aₙ≤5. Az eltérés 3/n<ε, ha n>3/ε; N=⌈3/ε⌉ megfelelő. (−1)ⁿ korlátos, nem konvergens; n monoton, nem korlátos és nincs véges határértéke.
Négy művelet feltétellel
aₙ→A, bₙ→B esetén összeg A+B, különbség A−B, szorzat AB. Hányadoshoz B≠0 kell, ekkor egy indextől bₙ≠0 és a határérték A/B. 2+1/n és 3−2/n négy határértéke 5,−1,6,2/3.
Nulla nevezőhatárnál a tétel nem használható:(1/n)/(1/n)=1,(1/n)/(1/n²)=n.
Végtelen mértani sor
A sor összege részletösszegeinek határértéke. |q|<1 mellett Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)→a₁/(1−q). Negatív q is lehet:3−3/2+3/4−… összege 2. a₁≠0 és |q|≥1 mellett a tagok nem tartanak 0-hoz, nincs véges sorösszeg. a₁=0 külön kivétel: bármely q-val nulla sor.
Kidolgozott példa
Jellemezd 1+2/n-et és add meg a 0,005 pontosság küszöbét!
Különbsége −2/[n(n+1)]<0;1<aₙ≤3.
2/n<0,005 pontosan n>400.
N=400 megfelelő; n=400-nál csak egyenlőség van. Határérték 1.
- Szigorú ε-feltételnél az egyenlőség nem elég.
- Sorösszeghez a részletösszegek konvergenciáját ellenőrizd.
Próbáld ki önállóan!
Sorozatalkalmazás és kamatos kamat minden ismeretlennel+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Díj és pénzmozgás nélkül Kₙ=K₀qⁿ, q=1+r>0; r az adott időszak rátája tizedestörtben. A tőke mértani sorozat.
Egyszerű kamatnál csak a kezdőtőke kamatozik. Időszak végén elérendő küszöbnél az egész n-et külön ellenőrizzük.
Négy adat és kivétel
100000 Ft évi 10%-kal két év alatt 121000 Ft. Visszafelé K₀=121000/1,1²=100000.
Ismeretlen ráta esetén q=√1,21=1,1, r=10%. 100000-ből 133100-hoz n=log(1,331)/log(1,1)=3. q=1-nél az összeg állandó: eltérő célhoz nincs időmegoldás, azonoshoz minden n jó.
Időegység és sorozatösszeg
Évi effektív 12%-hoz havi szorzó 1,12^(1/12), nem automatikusan 1,01. Havi tőkésítésű évi nominális 12% külön modellben havi 1%-ot jelenthet, éves szorzó 1,01¹².
Befizetések 10000,12000,…,32000 Ft kamat nélkül:12 számtani tag, összeg 252000 Ft. Több év végi tőkeállomány összege nem azonos a végső megtakarítással.
Kidolgozott példa
50000 Ft évente 5%-kal nő. Melyik év végén haladja meg először 60000 Ft-ot?
1,05ⁿ>1,2, n>log(1,2)/log(1,05)≈3,74.
Legkisebb egész n=4.
A harmadik évben 57881,25, a negyedikben 60775,3125 Ft; az első túllépés valóban 4.
- A ráta időegysége egyezzen az n időszakával.
- A kérdezett megfigyelési időre kerekíts.
Próbáld ki önállóan!
Gyűjtőjáradék és törlesztés az időrendből levezetve+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Állandó időszaki kamattal, egyenlő befizetésekkel, díjak nélkül számolunk. Az időszak végén befizetett összeg abban az időszakban még nem kamatozik.
Az idővonal a képlet része.
Gyűjtőjáradék
B időszak végi befizetés, n alkalom, q szorzó mellett V=B(qⁿ⁻¹+…+q+1)=B(qⁿ−1)/(q−1), q≠1. Időszak elején minden tétel egyszer többet kamatozik, így qV. q=1-nél nB.
Három év végi 10000 Ft, q=1,1:33100 Ft; év elején 36410 Ft.
Törlesztés levezetése
L₀=L, Lₖ=qLₖ₋₁−T. Két lépés L₂=q²L−T(q+1); n lépés Lₙ=qⁿL−T(qⁿ−1)/(q−1).
Lₙ=0-ból T=Lqⁿ(q−1)/(qⁿ−1), q≠1; q=1-nél T=L/n. 210000 Ft, q=1,1, n=2: T=121000 Ft. Első kamat 21000, tőkerész 100000, maradék 110000; második kamat 11000, a 121000 lezárja.
Kerekített részleteknél az utolsó egyenleget külön ellenőrizzük.
Kidolgozott példa
Három év végén 20000 Ft befizetés, q=1,1. Mennyi gyűlik össze, és mennyi év eleji befizetéssel?
A tételek 20000·1,1²,20000·1,1,20000.
Összeg 66200 Ft.
Év elején 1,1-szeres:72820 Ft; kamat nélkül mindkettő 60000.
- A most befizetett év végi tételt ne kamatoztasd visszamenőleg.
- q=1-nél külön képlet kell.
Próbáld ki önállóan!
Pénzügyi modell: díj, infláció és változó kamat+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
A számolt hozam feltételes eredmény. Díj, infláció, kamatváltozás, veszteség lehetősége, hozzáférési idő és pénznem is számít.
E mesterséges adatokkal megadott feladatok a leírt feltételekre szólnak; egy végösszeg nem általános termékajánlás.
Díj és reálérték
100000 Ft egy évre: A 6% hozam, végén 2000 Ft díj; B 4%, díj nélkül. Mindkettő nettó 104000 Ft.
Induláskori A-díjjal 98000·1,06=103880 lenne. 5% hozam és 8% infláció mellett a reálszorzó 1,05/1,08≈0,97222;100000 Ft mai vásárlóereje 97222,22 Ft, mintegy 2,78% csökkenés. A százalékok kivonása csak közelítés.
Hitel és forgatókönyv
Lₖ=qₖLₖ₋₁−Tₖ modellben változó kamatnál a korábbi q nem garantált. 100000 Ft egy év végén visszafizetve 10%-kal 110000,15%-kal 115000 Ft díj nélkül. A THM a hitelköltségek összevetését segíti, nem automatikusan a szerződéses kamat; feltételek és törlesztési teher is számítanak.
Idegen pénznemben az árfolyam is változtatja a forintterhet.
Kidolgozott példa
100000 Ft egy év alatt 104000-re nő. 6% infláció mellett mennyi a mai vásárlóereje?
Névleges szorzó 1,04, árszínvonalé 1,06.
104000/1,06≈98113,21 Ft.
Reálszorzó ≈0,98113, mintegy 1,89% csökkenés a névleges növekedés mellett.
- A névleges növekedés nem feltétlen vásárlóerő-növekedés.
- A hozamot a díjakkal és feltételekkel együtt értelmezd.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy sorozat első tagja 7, minden következő tag 4-gyel nagyobb. Mennyi a tizedik tag és az első tíz tag összege?
A tizedik tagig kilenc növekedés van: a₁₀ = 7 + 9 · 4 = 43.
A számtani összegképlet szerint S₁₀ = 10 · (7 + 43)/2 = 250.
Az összeg ellenőrizhető párokból is: 7 + 43 = 50, 11 + 39 = 50, és összesen öt ilyen pár van.
Emelt szinten menj tovább!
A véges összeg és a végtelen sor összege külön fogalom. Mértani sorozat első n tagjára Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q), ha q ≠ 1; q = 1 esetén Sₙ = n · a₁.
A végtelen mértani sor a₁/(1 − q) összege |q| < 1 mellett használható, mert ekkor qⁿ → 0. A feltétel elhagyása értelmetlen összeget eredményezhet.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
A 2, 6, 18, 54 sorozat számtani vagy mértani?
Megoldás és magyarázat
Mértani, hányadosa 3. A különbségek 4, 12 és 36, ezért nem számtani.
2. kérdés
A 10, 15, 20 sorozat számtani. Mi a hatodik tagja?
Megoldás és magyarázat
35. Az elsőtől a hatodikig öt lépés van, ezért 10 + 5 · 5 = 35.
3. kérdés
Mennyi az 1 + 1/2 + 1/4 + … végtelen mértani sor összege, és miért alkalmazható a képlet?
Megoldás és magyarázat
2. Az első tag 1, q = 1/2, tehát |q| < 1.
Az n tagú összeg 2(1 − (1/2)ⁿ), amelynek határértéke 2. A véges részösszegek nem egyenlők 2-vel.