Függvények
A hozzárendelést képlettel, táblázattal és grafikonnal is értelmezzük, majd összekapcsoljuk a háromféle leírást.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (6) →
Alapfogalmak, példákkal
Függvény
A függvény az értelmezési tartomány minden eleméhez pontosan egy értéket rendel. Több bemenethez tartozhat ugyanaz a kimenet.
f(x) = x² esetén f(2) = 4 és f(−2) = 4. Ez továbbra is függvény.
Értelmezési tartomány és értékkészlet
Az értelmezési tartomány a megengedett bemenetek, az értékkészlet a ténylegesen felvett kimenetek halmaza.
A valós számokon értelmezett x² értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.
Grafikon és zérushely
A grafikon (x; f(x)) pontokból áll. Zérushely az az x érték, amelyhez nulla függvényérték tartozik.
f(x) = 2x − 6 zérushelye x = 3. A grafikon az x tengelyt (3; 0)-ban metszi.
A lecke végére: A függvény képletét, értéktáblázatát és grafikonját összekapcsolod.
Értsd meg az összefüggést!
A függvény minden megengedett bemenethez pontosan egy kimenetet rendel. A képlet a számolási szabályt, a táblázat néhány összetartozó értéket, a grafikon pedig a kapcsolat képét mutatja.
Ugyanaz az x nem kaphat két különböző y értéket egy függvényben.
Az értelmezési tartomány a megengedett bemenetek halmaza. Hétköznapi modellben a képlet algebrailag lehet értelmes több számra is, mint amennyire a helyzet engedi: a megtett idő például nem negatív.
A zérushely bemeneti érték, ahol a kimenet nulla.
Lineáris függvénynél f(x) = mx + b. Az m megmutatja, mennyivel változik a függvényérték, ha x eggyel nő; b az x = 0-hoz tartozó érték.
A tengelymetszet és a zérushely ezért nem ugyanaz a fogalom.
Nézzük meg egy példán!
Meredekség és tengelymetszet
A legfontosabb szabályok
- Határozd meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet.
- Grafikonon olvasd le a monotonitást, szélsőértéket és zérushelyet.
- Eltolás: f(x)+c függőleges, f(x−c) vízszintes eltolás.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: f(x)=2x−4. Mennyi f(3), és hol a zérushely?
1. Helyettesítés: f(3)=2·3−4=2.
2. Zérushelyhez 2x−4=0, tehát x=2.
3. Ellenőrzés: f(2)=0.
A két kérdés más mennyiséget kért.
Részletes magyarázatok és példák
01Értelmezési tartomány és értékkészlet+
Az f(x) = 1/x függvénynél x = 0 kizárt. Az f(x) = x² valós bemeneteken csak nemnegatív értékeket vesz fel, ezért az értékkészlete [0;∞).
A képlet önmagában nem mindig adja meg a feladatban megengedett összes bemenetet.
02Képlet, értéktáblázat és grafikon+
Értéktáblázatban kiválasztott x-ekhez kiszámítjuk f(x)-et, majd a (x;f(x)) pontokat ábrázoljuk. Ha f(x)=2x+1, akkor x=0-hoz 1, x=2-höz 5 tartozik.
Néhány pont csak akkor határozza meg az egész grafikont, ha a függvény típusát is ismerjük.
03Zérushely és tengelymetszet+
A zérushely olyan bemenet, amelyhez nulla tartozik: f(x)=0. Az y tengelymetszet, ha értelmezett, (0;f(0)).
Az f(x)=2x−4 zérushelye x=2, y tengelymetszete (0;−4). A zérushely szám, a grafikon megfelelő pontja (2;0).
04Monotonitás és szélsőérték+
Egy intervallumon szigorúan növekvő a függvény, ha a nagyobb bemenethez nagyobb értéket rendel. Minimumérték a legkisebb felvett érték; minimumhely az a bemenet, ahol felveszi.
Az x² minimumhelye 0, minimumértéke 0; nem minden függvénynek van minimuma.
05Grafikontranszformációk+
Az f(x)+c grafikonját c-vel függőlegesen, az f(x−c) grafikonját c-vel vízszintesen toljuk el. A −f(x) az x tengelyre tükröz.
Az (x−2)²+3 parabola csúcsa (2;3), ezért zérushelye a valós számok között nincs.
Lépésről lépésre, részletesen
Függvényfogalom, összetétel, inverz és transzformáció+
- Értelmezési tartományt és értékkészletet megadni.
- Grafikonváltozást a képlettel összekapcsolni.
A függvény minden megengedett bemeneti értékhez pontosan egy kimenetet rendel. Az értelmezési tartomány a megengedett bemenetek, az értékkészlet a ténylegesen felvett értékek halmaza.
A képhalmaz tágabb is lehet. Az inverzfüggvényhez különböző bemenetekhez különböző kimenetek kellenek.
Összetétel és inverz
(f∘g)(x)=f(g(x)); csak olyan x megengedett, amelyre g(x) f tartományába kerül. Az inverz grafikonja az y=x-re tükrözés; x² egész R-en nem invertálható, de [0;∞[-re szűkítve inverze √x.
A pontonkénti összeg/szorzat tartománya a tartományok metszete; hányadosnál a nevezőfüggvény nem lehet nulla.
Grafikon és jellemzés
f(x−a)+b a grafikont a-val jobbra, b-vel felfelé tolja. −f(x) az x tengelyre, f(−x) az y tengelyre tükröz. c·f(x) függőleges skálázás. Vizsgáld a nullhelyet, előjelet, monotonitást, korlátosságot, szélsőértéket, párosságot, periodicitást.
Páros függvényre f(−x)=f(x), páratlanra f(−x)=−f(x), szimmetrikus tartományon.
Kidolgozott példa
Jellemezd f(x)=(x−2)²−3-at!
Az x² grafikonját 2-vel jobbra, 3-mal lefelé toljuk.
Tartomány R, értékkészlet [−3;∞[; minimum f(2)=−3.
Csökken ]−∞;2]-n, nő [2;∞[-n. Nullhelyei 2±√3.
A szimmetriatengely x=2; az egész függvény nem páros és nem páratlan.
- Az értékkészletet ne a képletben szereplő x megengedett értékeivel keverd.
Próbáld ki önállóan!
Lineáris, hatvány-, gyök-, exponenciális és logaritmusfüggvények+
- Alapfüggvények grafikonját és tulajdonságait felismerni.
- Modellhez megfelelő függvényt választani.
A lineáris mx+b meredeksége m, tengelymetszete b. A másodfokú függvény parabolája csúcsalakban könnyen jellemezhető.
A √x csak x≥0-ra értelmezett; az 1/x tartománya x≠0, tengelyei aszimptoták. Az aszimptotához közeledés nem jelenti, hogy a grafikonnak mindig tilos azt metszenie más függvényeknél.
Hatvány és gyök
x² páros, x³ páratlan és szigorúan növekvő. Pozitív páros egész hatványok U alakúak, a páratlanok előjelet tartanak.
A √x növekvő és konkáv. Az abszolútérték-függvény V alakú; x<0-ra −x, x≥0-ra x.
Exponenciális és logaritmus
aˣ pozitív, f(0)=1; a>1-re nő, 0<a<1-re csökken. Inverze logₐx, melynek tartománya ]0;∞[, értékkészlete R, nullhelye 1.
A logaritmus alapváltása függőleges skálázásként is olvasható. Sin és cos periódusa 2π, értékkészlete [−1;1]; tan periódusa π, és π/2+kπ-nél nem értelmezett.
Kidolgozott példa
Egy baktériumtenyészet 200 egyedről óránként kétszereződik. Írd fel a modellt és a harmadik órai értéket!
A relatív változás állandó, ezért exponenciális modell: N(t)=200·2ᵗ.
N(3)=200·8=1600.
A modell t≥0 időkre használható, az adott növekedési feltételek fennállásáig.
- Az exponenciális modellben az időegység és az alkalmazási tartomány is része a válasznak.
Próbáld ki önállóan!
Függvény: tartomány, képhalmaz, értékkészlet és modell+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
f: A→B az A halmaz minden x eleméhez pontosan egy B-beli f(x) értéket rendel. A az értelmezési tartomány, B a kijelölt képhalmaz, f(A)={f(x): x∈A} az értékkészlet; f(A)⊆B.
Egy bemenethez két kimenet nem tartozhat, különböző bemenetekhez azonos érték viszont igen.
Halmazok és visszakeresés
f:[−2;3]→ℝ, f(x)=x²: f(−2)=4, f(3)=9. Tartomány [−2;3], képhalmaz ℝ, értékkészlet [0;9]. f(x)=4-ből ±2 egyaránt megengedett; f(x)=8-ból csak √8, mert −√8<−2.
Ugyanaz a képlet más tartományon más függvényt ad.
Szövegből képlet
900 Ft alapdíj és kilométerenként 240 Ft esetén C(s)=900+240s Ft, s≥0 km. C(5)=2100 Ft; C(s)=3300-ból s=10 km.
Az alapdíj miatt nem egyenes arányosság. Folytonosan mért távolság lehet valós; darabszámhoz egész tartomány kell.
Kidolgozott példa
Egy fuvar C(s)=1200+300s Ft, s≥0 km. Mennyi C(4), és mikor 4200 Ft?
C(4)=2400 Ft.
1200+300s=4200-ból s=10 km.
Értékkészlet [1200;∞[; 900 Ft költséghez nincs megengedett bemenet.
- A képhalmaz nem automatikusan az értékkészlet.
- A visszakeresett jelölt legyen az eredeti tartományban.
Próbáld ki önállóan!
Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, megszorítás és kiterjesztés+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
f: A→B bijektív, ha injektív (különböző bemenetek képe különböző) és szürjektív (B minden eleme kép). Megfordítása B minden eleméhez egyetlen A-beli elemet rendel.
Injektív függvény az értékkészletére mint képhalmazra nézve invertálható.
Megfordítás és rajz
f(x)=2x+1, ℝ→ℝ bijektív. y=2x+1-ből x=(y−1)/2, így f⁻¹(x)=(x−1)/2. Az eredeti (−1;−1),(0;1),(1;3) pontokból (−1;−1),(1;0),(3;1) lesz: y=x-re tükrözött grafikon. f(f⁻¹(x))=x és f⁻¹(f(x))=x.
Véges A={1;2;3}, B={a; b; c}, 1↦b,2↦c,3↦a szintén bijekció. Ha B-ben d kép nélkül marad, már nem szürjektív.
Emelt kiegészítés
Megszorításkor az új tartomány a régi része, a szabály változatlan. x² a nemnegatív valósakon √x, a nempozitívakon −√x inverzű. Kiterjesztéskor bővítjük a tartományt, minden régi érték megtartásával. (x²−4)/(x−2) x≠2-n x+2; 2-ben 4 választása folytonos kiterjesztés, 5 választása kiterjesztés, de nem folytonos.
Kidolgozott példa
Rajzold 3x−2 és megfordításának grafikonját három ponttal!
Eredeti pontok (0;−2),(1;1),(2;4).
Inverz (x+2)/3; pontjai (−2;0),(1;1),(4;2).
Mindkét egyenest rajzold be az y=x mellé; a két összetétel x.
- Bijekcióhoz a kijelölt képhalmaz minden eleme számít.
- Inverzfüggvény és reciprokfüggvény nem ugyanaz.
Próbáld ki önállóan!
Alapfüggvények: táblázat, grafikon és pontos jellemzés+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Rajzhoz jelöld a tengelyeket, skálát, tartományt és nevezetes pontokat. Az értéktáblázat néhány pontja önmagában nem határozza meg a görbét; a képlet és az alapfüggvény tulajdonságai indokolják az összekötést és a külön ágakat.
Egyenes és parabola
ax+b az ℝ-en értelmezett; a előjele szerint nő, csökken vagy állandó. a≠0-nál nullhely −b/a, R=ℝ; a=0-nál R={b}. x²: D=ℝ, R=[0;∞[, minimum (0;0). ax²+bx+c, a≠0 csúcsa x₀=−b/(2a), y₀=c−b²/(4a). a>0-nál minimum, előtte csökken, utána nő; a<0-nál maximum, előtte nő, utána csökken.
Gyök és reciprok
√x: D=R=[0;∞[, növekvő; pontok (0;0),(1;1),(4;2),(9;3). 1/x: D=R=ℝ∖{0}, a két tengely aszimptota. Mindkét külön ágon csökken, de teljes széttagolt tartományán nem: −1<1 mellett f(−1)<f(1).
Exponenciális
aˣ, a>0, a≠1: D=ℝ, R=]0;∞[, (0;1), nincs nullhely, y=0 aszimptota. a>1-nél nő, 0<a<1-nél csökken. 2ˣ pontjai (−1;1/2),(0;1),(1;2),(2;4); (1/2)ˣ ezek y tengelyre tükrözött képe.
Kidolgozott példa
Ábrázold x²−2x−3-at és olvasd le tulajdonságait!
Csúcsalak (x−1)²−4, csúcs (1;−4), R=[−4;∞[.
x=−1,0,1,2,3-nál y=0,−3,−4,−3,0.
Csökken a csúcsig, utána nő; nullhelyek −1 és 3.
- Tiltott ponton ne köss át görbét.
- Két ág külön monotonitása nem teljes tartománybeli monotonitás.
Próbáld ki önállóan!
Grafikontranszformáció és grafikonról leolvasott jellemzés+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
f(x)+d pontképe (t; f(t)+d), f(x+b)-é (t−b; f(t)); b>0 balra tol. c·f(x) magasságot c-szeresre változtat; c<0-nál x tengelyre tükröz. |f(x)| a negatív részt tükrözi fel, a nemnegatívat megtartja.
Több lépés
−2(x−1)²+4 az x² jobbra 1-gyel, függőlegesen −2-szeresre, majd felfelé 4-gyel módosított képe. Csúcs (1;4), pontok (0;2),(2;2),(−1;−4),(3;−4).
R=]−∞;4], maximum 4, nullhelyek 1±√2, nő a csúcsig, utána csökken.
Abszolút érték és tartomány
|x²−1| [−1;1]-en 1−x², kívül x²−1;0-ban helyi maximum 1,±1-nél globális minimum 0. √(x−2)+1 tartománya [2;∞[, R=[1;∞[, pontjai (2;1),(3;2),(6;3). A tartomány kezdőpontja is tolódik.
Kidolgozott példa
Rajzold |x²−4|-et, és jellemezd négy monoton szakaszát!
Nullhelyek ±2; köztük 4−x², kívül x²−4.
Pontok (−3;5),(−2;0),(0;4),(2;0),(3;5), R=[0;∞[.
Csökken ]−∞;−2]-n, nő [−2;0]-n, csökken [0;2]-n, nő [2;∞[-n. ±2-ben globális minimum 0,0-ban helyi maximum 4.
- A bemeneti eltolás előjele fordított pontmozgást jelent.
- Helyi és globális szélsőérték külön fogalom.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy kölcsönzés díja 1000 Ft alapdíj és óránként 600 Ft. Írd fel a díjat, és számítsd ki három órára!
Legyen t az idő órában. A díj f(t) = 600t + 1000 forint; a helyzetben t ≥ 0.
Három órára f(3) = 600 · 3 + 1000 = 2800 Ft.
A grafikon 1000-nél metszi a függőleges tengelyt. Az algebrai zérushely negatív lenne, ezért a tényleges időtartományban nincs ingyenes kölcsönzés.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Az f(x) = 2x − 6 függvény zérushelye 0 vagy 3?
Megoldás és magyarázat
3, mert f(3) = 0. A 0 bemenethez −6 tartozik; ez az y-tengelymetszet.
2. kérdés
Az f(x) = 3x − 1 függvénynél mennyi f(2), és mi a zérushely?
Megoldás és magyarázat
f(2) = 5. A zérushelyhez 3x − 1 = 0-t oldunk meg: x = 1/3.
A függvényérték és a bemenet külön mennyiség.