Számelmélet
Az oszthatóság és a prímtényezők segítenek maradék nélküli felosztást vagy ismétlődő események közös időpontját keresni.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Osztó és többszörös
Pozitív egész számoknál a az osztója b-nek, ha b/a egész szám. Ekkor b az a többszöröse.
A 4 osztója a 12-nek, a 12 többszöröse a 4-nek.
Prímszám és összetett szám
A prímszám 1-nél nagyobb pozitív egész, amelynek pontosan két pozitív osztója van. Az összetett számnak kettőnél több pozitív osztója van.
A 7 prím, a 12 összetett. Az 1 egyik csoportba sem tartozik.
LNKO és LKKT
Az LNKO a legnagyobb közös pozitív osztó. Az LKKT a legkisebb közös pozitív többszörös.
A feladat helyzete dönti el, melyiket keressük.
12 és 18 LNKO-ja 6, LKKT-ja 36.
A lecke végére: A prímtényezős felbontást közös osztók és többszörösök keresésére használod.
Értsd meg az összefüggést!
Az osztó maradék nélkül osztja a számot. A prímszámnak pontosan két pozitív osztója van: 1 és önmaga.
Az 1 ezért nem prím. A prímtényezős felbontás a számot prímszámok szorzataként írja le, és megmutatja, milyen tényezőkből épül fel.
A legnagyobb közös osztóhoz azok a prímtényezők kellenek, amelyek mindkét számban megvannak, a kisebb kitevővel. A legkisebb közös többszörösnek mindkét szám összes tényezőjét tartalmaznia kell, ezért minden szereplő prímet a nagyobb kitevővel veszünk.
A történet dönti el, melyik fogalom szükséges. Az egyforma csomagokra bontás gyakran közös osztót, az ismétlődő események következő találkozása közös többszöröst kér.
Képlet előtt ezt a kapcsolatot nevezd meg.
Nézzük meg egy példán!
Oszthatóság egy példán
| Vizsgálat | A 234 számnál | Következtetés |
|---|---|---|
| 2-vel | Az utolsó számjegy 4. | Osztható. |
| 3-mal | 2 + 3 + 4 = 9. | Osztható. |
| 9-cel | A számjegyösszeg 9. | Osztható. |
A legfontosabb szabályok
- Oszthatóság 3-mal és 9-cel a számjegyek összegéből vizsgálható.
- 4-gyel való oszthatósághoz az utolsó két számjegyet nézd.
- A prímszámnak pontosan két pozitív osztója van: 1 és önmaga.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 12 és 18 legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse.
1. Felbontás: 12 = 2²·3, 18 = 2·3².
2. Kisebb közös kitevők: LNKO = 2·3 = 6.
3. Nagyobb kitevők: LKKT = 2²·3² = 36; ellenőrzés: 6·36 = 12·18.
Részletes magyarázatok és példák
01Oszthatósági szabályok+
2-vel a páros, 5-tel a 0-ra vagy 5-re végződő számok oszthatók. 3-nál és 9-nél a számjegyek összegét vizsgáljuk. 4-nél az utolsó két számjegy alkotta számot: 1316 osztható 4-gyel, mert 16 osztható.
02Prímszám és összetett szám+
A 2, 3, 5, 7 prímszám; az 1 nem prím és nem összetett. A 12 összetett, mert 1-en és önmagán kívül más pozitív osztója is van.
Prímvizsgálathoz elegendő a négyzetgyökig eső prímosztókat keresni.
03Prímtényezős felbontás+
Prímtényezős felbontáskor prímszámokkal osztunk, amíg 1-ig jutunk. A 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2²·3·5.
A tényezők sorrendjétől eltekintve ez a felbontás egyértelmű az 1-nél nagyobb pozitív egészekre.
04Legnagyobb közös osztó+
Az LNKO-ban a közös prímtényezők a kisebb kitevővel szerepelnek. A 18 = 2·3² és 24 = 2³·3 esetén LNKO = 2·3 = 6.
Ennyi lehet a legnagyobb egyenlő csoportméret, ha mindkét mennyiséget maradék nélkül csoportosítjuk.
05Legkisebb közös többszörös+
Az LKKT minden előforduló prímtényezőt a nagyobb kitevővel tartalmaz. A 18 és 24 LKKT-ja 2³·3² = 72.
Két pozitív egészre LNKO(a,b)·LKKT(a,b) = a·b; itt 6·72 = 18·24.
Lépésről lépésre, részletesen
Prímtényezők, LNKO, LKKT és logikai összeszámlálás+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Prímszámnak pontosan két pozitív osztója van. Összetett szám prímek szorzatára bontható.
Közös osztó mindkét számot osztja; közös többszörös mindkettő többszöröse.
LNKO és LKKT
Prímfelbontásban LNKO-hoz közös prímek kisebb kitevővel, LKKT-hoz minden prím nagyobb kitevővel kerül. 12=2²·3,18=2·3², ezért LNKO=6,LKKT=36. Közös csoportméret kérdésében osztót, együttes ismétlődésnél többszöröst keresünk.
Állítás és számlálás
Mindenre vonatkozó állítást egy ellenpélda cáfolhat. Sorrendes választásnál más az AB és BA; sorrend nélkül ugyanaz.
Felsorolással, táblázattal vagy fadiagrammal biztosítható, hogy nincs hiány és ismétlés.
Kidolgozott példa
12 és 18 percenként induló járatok egyszerre indulnak. Mikor indulnak legközelebb együtt?
A közös indulás mindkét idő többszöröse.
A legkisebb közös többszörös 36.
Tehát 36 perc múlva; 36:12=3 és 36:18=2.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Két jelzés 12 és 18 percenként szól. Most együtt szóltak.
Hány perc múlva szólnak legközelebb együtt?
A közös időpont 12-nek és 18-nak is többszöröse. A legkisebb pozitív közös többszöröst keressük.
12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², így LKKT = 2² · 3² = 36.
Ellenőrzés: 36/12 = 3 és 36/18 = 2. A következő együtt megszólalás 36 perc múlva lesz.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mennyi 12 és 18 legnagyobb közös osztója?
Megoldás és magyarázat
6 = 2 · 3. Ez más kérdésre válaszol, mint a közös többszörös.
2. kérdés
Két lámpa 8 és 12 másodpercenként villan. Most együtt villantak.
Mikor villannak legközelebb együtt?
Megoldás és magyarázat
24 másodperc múlva. A 8 és 12 legkisebb közös pozitív többszörösét keressük, nem a legnagyobb közös osztót.