Algebrai kifejezések
A betűs kifejezések átalakításakor az értéket megőrizzük, a megengedett helyettesítéseket pedig végig számon tartjuk.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Változó és helyettesítési érték
A változó betűvel jelölt szám. A helyettesítési értéket úgy kapjuk, hogy egy megengedett számot a változó minden előfordulása helyére beírunk.
A 3x + 2 értéke x = 4 mellett 14.
Egynemű tag
Az egynemű tagok betűs része azonos, ezért az együtthatójuk összeadható. Eltérő betűs részeket így nem vonhatunk össze.
3x + 2x = 5x. A 3x + 2y általában nem 5x és nem 5y.
Azonosság és feltétel
Az azonos átalakítás minden megengedett helyettesítésnél megőrzi az értéket. Törtes kifejezés nevezője nem lehet nulla, és a kizárást egyszerűsítés után is megtartjuk.
(x² − 1)/(x − 1) = x + 1 csak x ≠ 1 mellett.
A lecke végére: A betűs kifejezéseket jelentésük megőrzésével alakítod át.
Értsd meg az összefüggést!
A betű egy szám helyét jelöli; ugyanaz a betű egy kifejezésben ugyanazt az értéket képviseli. Az egynemű tagok összevonhatók: 3x + 2x öt darab x, vagyis 5x.
A 3x + 2y általában nem vonható egyetlen ilyen taggá, mert a két betű eltérő mennyiséget jelölhet.
A zárójelbontás a szorzás összegre való szétosztásából következik. A 2(x + 3) esetén a 2 mindkét tagot szorozza.
Negatív szorzónál is ez történik: −2(x − 3) = −2x + 6.
Törtet közös szorzótényezővel egyszerűsítünk, összeadott tagot nem lehet csak úgy kihúzni. Az eredeti nevező kizárt értékei egyszerűsítés után is kizártak maradnak.
Egy átalakítást ellenőrizhetsz megengedett számmal való helyettesítéssel, de egyetlen jó próba még nem bizonyít minden esetre azonosságot.
Nézzük meg egy példán!
Zárójelbontás és összevonás
- Kifejezés
3(x + 2) + 2x
- Zárójelbontás
3x + 6 + 2x
- Összevonás
5x + 6
A legfontosabb szabályok
- Először bontsd fel a zárójeleket, majd vond össze az egynemű tagokat.
- Negatív szám helyettesítésekor használj zárójelet.
- A törtvonal teljes számlálóra és nevezőre zárójelként hat.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: egyszerűsítsd a 2(x+3) − (x−4) kifejezést.
1. Bontsd fel a zárójeleket: 2x + 6 − x + 4.
2. Vond össze az egynemű tagokat: x + 10.
3. x = 2 esetén az eredeti 12, az új alak 12; ez hasznos ellenőrzés, önmagában nem általános bizonyítás.
Részletes magyarázatok és példák
01Algebrai kifejezés és helyettesítési érték+
A 3x + 2 értéke x = 4 esetén 14. Negatív számnál zárójelezz: x² − 1 értéke x = −3 mellett (−3)² − 1 = 8.
Mielőtt számolsz, nézd meg, engedett-e a helyettesítés.
02Egynemű tagok összevonása+
Egynemű tagok betűrésze a kitevőkkel együtt azonos: 3x² + 5x² = 8x². A 3x és 5x² nem vonható össze egyetlen ilyen taggá.
Az együttható a betűrészt szorzó szám.
03Zárójelek felbontása+
A szorzó a zárójel minden tagjára hat: 3(x−2) = 3x−6. Mínuszjelnél minden előjel változik: −(x−4) = −x+4.
Ellenőrizd például x = 2 behelyettesítésével, hogy a két alak azonos értéket ad-e.
04Tényezőkre bontás és azonosságok+
Tényezőkre bontáskor összeget írunk szorzatként: 6x+9 = 3(2x+3). Fontos azonosság: (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b², a²−b² = (a−b)(a+b).
Mindig a teljes kifejezést hasonlítsd a mintához.
05Törtes algebrai kifejezések feltételei+
Algebrai törtben a nevező nem lehet nulla. Az (x²−1)/(x−1) = x+1 egyszerűsítés csak x ≠ 1 mellett igaz.
Tényezőt egyszerűsíthetsz, összeadás egy tagját nem: az (x+2)/x nem egyenlő 2-vel.
Lépésről lépésre, részletesen
Algebrai kifejezés és elsőfokú egyenlet+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A betű egy változó mennyiséget jelöl. Helyettesítési értéknél az adott számot minden előfordulás helyére írjuk.
Azonos betűs részű tagokat vonhatunk össze, például 3x+2x=5x; 3x+2 ettől nem lesz 5x.
Zárójel és művelet
a(b+c)=ab+ac. Negatív előjel a zárójel minden tagjának előjelét megváltoztatja: −(2x−3)=−2x+3.
A műveleti sorrend számok és betűk mellett ugyanaz.
Ellenőrzés
Átalakított kifejezést visszaszorzással vagy helyettesítéssel ellenőrizhetsz, de néhány egyező érték nem általános bizonyítás. Egyenletben mindkét oldalhoz azonos mennyiséget adunk, vagy nemnulla számmal szorzunk/osztunk.
Kidolgozott példa
Egyszerűsítsd 3(x+2)−2x-et, majd számíts x=4-nél!
Zárójelfelbontás: 3x+6−2x.
Összevonás: x+6.
x=4-re 10; eredetiben 3·6−8=10.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egyszerűsítsd: 3(x − 2) − 2(x + 1), majd számítsd ki x = 4-nél!
Zárójelbontás: 3x − 6 − 2x − 2. A második zárójel minden tagját −2 szorozza.
Összevonás: x − 8. x = 4 esetén 4 − 8 = −4.
Ellenőrzés az eredetiben: 3 · 2 − 2 · 5 = 6 − 10 = −4.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Miért nem egyszerűsíthető (x + 3)/x úgy, hogy 3 maradjon?
Megoldás és magyarázat
A számlálóban összeg áll, az x nem az egész számláló szorzótényezője. x ≠ 0 esetén a kifejezés 1 + 3/x.
2. kérdés
Bontsd fel a zárójelet: −2(x − 5)!
Megoldás és magyarázat
−2x + 10. A −2 a zárójel mindkét tagját megszorozza; a második szorzat (−2) · (−5) = 10.