Hatványok
A hatványt a tényezők számolásából értjük meg, és külön figyelünk arra, melyik műveletre használható egy azonosság.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Alap és kitevő
Pozitív egész kitevőnél az alap az ismételten szorzott szám, a kitevő a tényezők darabszáma.
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Nem ugyanaz, mint 3 · 4.
Zárójel és előjel
A zárójel kijelöli, mi tartozik a hatvány alapjához. Zárójel nélkül az előjelet a hatvány kiszámítása után alkalmazzuk.
(−3)² = 9, de −3² = −9.
Négyzetgyök
A nemnegatív a szám √a négyzetgyöke az a nemnegatív szám, amelynek négyzete a.
√25 = 5. Az x² = 25 egyenletnek viszont 5 és −5 is megoldása.
A lecke végére: A hatvány alapját, kitevőjét és műveleti környezetét külön kezeled.
Értsd meg az összefüggést!
Pozitív egész kitevőnél a hatvány egyenlő tényezők szorzatát rövidíti. A 3⁴ nem 3 · 4, hanem 3 · 3 · 3 · 3.
Az azonosságok ezt a tényezőszámolást teszik rövidebbé: azonos alapú hatványok szorzásakor a kitevők összeadódnak.
Összeadásnál nincs ilyen szabály. A 2² + 2³ értéke 4 + 8 = 12, nem 2⁵.
A zárójel az alapot is kijelöli: (−3)² két negatív tényező szorzata, ezért 9; −3² a 3² ellentettje, ezért −9.
Négyzetgyöknél azt a nemnegatív számot keressük, amelynek négyzete az adott szám. A √9 értéke 3, miközben az x² = 9 egyenletnek a 3 és a −3 is megoldása.
A művelet és az egyenlet feladata különböző.
Nézzük meg egy példán!
Mit jelent a kitevő?
| Kifejezés | Felbontás | Érték |
|---|---|---|
| 2³ | 2 × 2 × 2 | 8 |
| (−2)² | (−2) × (−2) | 4 |
| −2² | −(2 × 2) | −4 |
A legfontosabb szabályok
- Az alapot és a kitevőt különítsd el.
- Negatív alapnál tartsd meg a zárójelet.
- A hatványozási szabályok műveletfüggők.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: (−2)² + 2³.
1. (−2)²=4, 2³=8.
2. Összeadunk: 4+8=12.
3. A két hatványt összeadtuk, ezért a kitevők összeadására vonatkozó szorzási szabály nem használható.
Részletes magyarázatok és példák
01Alap és pozitív egész kitevő+
A 3²-ben 3 az alap, 2 a kitevő; értéke 9, nem 6. A 4³ négyet szoroz háromszor: 4·4·4=64.
A számok szerepét olvasd ki szóban is.
02Azonos alapú hatványok+
Azonos alapú hatványok szorzásakor összeadjuk a kitevőket: 2²·2³=2⁵. Osztásnál nem nulla alap mellett kivonjuk: 2⁵:2²=2³.
A szabály nem az összeadásra vonatkozik: 2²+2³=12.
03Hatvány hatványa+
Hatvány hatványozásakor a kitevőket szorozzuk: (2²)³=2⁶=64. A zárójel azt jelzi, hogy az egész 2²-t vesszük háromszor tényezőként.
Írd ki a szorzást, ha bizonytalan vagy.
04Negatív alap és zárójel+
A (−3)²=9, mert két negatív tényező szorzata pozitív. A −3² viszont −9: előbb 3 négyzetét számoljuk, majd az ellentettjét.
A zárójelet ne hagyd el negatív alapnál.
05Négyzet és négyzetgyök+
A √36=6, mert 6 nemnegatív és négyzete 36. Az x²=36 egyenletnek viszont 6 és −6 is megoldása.
A gyökjel önmagában csak a nemnegatív gyököt jelöli.
Lépésről lépésre, részletesen
Pozitív egész hatványok és számrendszerek+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
aⁿ n darab a tényező szorzata, ezért a² nem 2a. Azonos alapú hatványokat szorozva kitevők összeadódnak, osztva kivonódnak, a megfelelő nemnulla feltétellel.
Hatvány hatványozásakor a kitevők szorzódnak.
Szabály és sorrend
2³·2⁴=2⁷, (2³)²=2⁶. Azonos kitevőnél aⁿbⁿ=(ab)ⁿ.
A −3²=−9, míg (−3)²=9: a zárójel megmutatja az alapot. A hatvány a szorzás előtt végzendő.
Helyi érték más alapban
Kettes számrendszerben 0 és 1 számjegyek, 1,2,4,8,… helyi értékek vannak. 1101₂=8+4+1=13. Tízesből kettessé ismételt 2-es osztás maradékaival vagy helyi értékes felbontással válthatunk.
Kidolgozott példa
Számítsd ki 3²·3³-at és (−2)⁴-et!
Azonos alap: 3^(2+3)=3⁵=243.
Négy negatív tényező szorzata pozitív: (−2)⁴=16.
A kitevőszabályt az ismételt szorzás is ellenőrzi.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Számítsd ki: (−2)³ + 3²!
(−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8. Páratlan számú negatív tényező szorzata negatív.
3² = 3 · 3 = 9, így az összeg −8 + 9 = 1.
A kitevőket nem adtuk össze: a két hatvány alapja is különböző, és összeadás áll közöttük.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Azonos-e (−4)² és −4²?
Megoldás és magyarázat
Nem. Az első 16, a második −16.
A zárójel dönti el, hogy a mínuszjel része-e az alapnak.
2. kérdés
Igaz-e, hogy 2² + 2³ = 2⁵?
Megoldás és magyarázat
Nem: 4 + 8 = 12. A kitevők összeadásának szabálya azonos alapú hatványok szorzására vonatkozik.