Számelmélet
Az oszthatóság és a prímtényezők segítenek maradék nélküli felosztást vagy ismétlődő események közös időpontját keresni.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (9) →
Alapfogalmak, példákkal
Osztó és többszörös
Pozitív egész számoknál a az osztója b-nek, ha b/a egész szám. Ekkor b az a többszöröse.
A 4 osztója a 12-nek, a 12 többszöröse a 4-nek.
Prímszám és összetett szám
A prímszám 1-nél nagyobb pozitív egész, amelynek pontosan két pozitív osztója van. Az összetett számnak kettőnél több pozitív osztója van.
A 7 prím, a 12 összetett. Az 1 egyik csoportba sem tartozik.
LNKO és LKKT
Az LNKO a legnagyobb közös pozitív osztó. Az LKKT a legkisebb közös pozitív többszörös.
A feladat helyzete dönti el, melyiket keressük.
12 és 18 LNKO-ja 6, LKKT-ja 36.
A lecke végére: A prímtényezős felbontást közös osztók és többszörösök keresésére használod.
Értsd meg az összefüggést!
Az osztó maradék nélkül osztja a számot. A prímszámnak pontosan két pozitív osztója van: 1 és önmaga.
Az 1 ezért nem prím. A prímtényezős felbontás a számot prímszámok szorzataként írja le, és megmutatja, milyen tényezőkből épül fel.
A legnagyobb közös osztóhoz azok a prímtényezők kellenek, amelyek mindkét számban megvannak, a kisebb kitevővel. A legkisebb közös többszörösnek mindkét szám összes tényezőjét tartalmaznia kell, ezért minden szereplő prímet a nagyobb kitevővel veszünk.
A történet dönti el, melyik fogalom szükséges. Az egyforma csomagokra bontás gyakran közös osztót, az ismétlődő események következő találkozása közös többszöröst kér.
Képlet előtt ezt a kapcsolatot nevezd meg.
Nézzük meg egy példán!
Oszthatóság egy példán
| Vizsgálat | A 234 számnál | Következtetés |
|---|---|---|
| 2-vel | Az utolsó számjegy 4. | Osztható. |
| 3-mal | 2 + 3 + 4 = 9. | Osztható. |
| 9-cel | A számjegyösszeg 9. | Osztható. |
A legfontosabb szabályok
- Oszthatóság 3-mal és 9-cel a számjegyek összegéből vizsgálható.
- 4-gyel való oszthatósághoz az utolsó két számjegyet nézd.
- A prímszámnak pontosan két pozitív osztója van: 1 és önmaga.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 12 és 18 legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse.
1. Felbontás: 12 = 2²·3, 18 = 2·3².
2. Kisebb közös kitevők: LNKO = 2·3 = 6.
3. Nagyobb kitevők: LKKT = 2²·3² = 36; ellenőrzés: 6·36 = 12·18.
Részletes magyarázatok és példák
01Oszthatósági szabályok+
2-vel a páros, 5-tel a 0-ra vagy 5-re végződő számok oszthatók. 3-nál és 9-nél a számjegyek összegét vizsgáljuk. 4-nél az utolsó két számjegy alkotta számot: 1316 osztható 4-gyel, mert 16 osztható.
02Prímszám és összetett szám+
A 2, 3, 5, 7 prímszám; az 1 nem prím és nem összetett. A 12 összetett, mert 1-en és önmagán kívül más pozitív osztója is van.
Prímvizsgálathoz elegendő a négyzetgyökig eső prímosztókat keresni.
03Prímtényezős felbontás+
Prímtényezős felbontáskor prímszámokkal osztunk, amíg 1-ig jutunk. A 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2²·3·5.
A tényezők sorrendjétől eltekintve ez a felbontás egyértelmű az 1-nél nagyobb pozitív egészekre.
04Legnagyobb közös osztó+
Az LNKO-ban a közös prímtényezők a kisebb kitevővel szerepelnek. A 18 = 2·3² és 24 = 2³·3 esetén LNKO = 2·3 = 6.
Ennyi lehet a legnagyobb egyenlő csoportméret, ha mindkét mennyiséget maradék nélkül csoportosítjuk.
05Legkisebb közös többszörös+
Az LKKT minden előforduló prímtényezőt a nagyobb kitevővel tartalmaz. A 18 és 24 LKKT-ja 2³·3² = 72.
Két pozitív egészre LNKO(a,b)·LKKT(a,b) = a·b; itt 6·72 = 18·24.
Lépésről lépésre, részletesen
Prímfelbontás, oszthatóság és számrendszerek+
- LNKO-t és LKKT-t prímfelbontással számítani.
- Helyi értékes számrendszerek között átváltani.
Az egész számok összeadásra, kivonásra és szorzásra zártak, osztásra nem. A prímszámnak pontosan két pozitív osztója van; 1 nem prím.
A számelmélet alaptétele a pozitív, 1-nél nagyobb egész egyértelmű prímfelbontását adja a tényezők sorrendjétől eltekintve.
Oszthatóság és osztószám
2: utolsó jegy páros; 3 és 9: számjegyösszeg; 4 és 8: utolsó két, illetve három jegy; 5: utolsó jegy 0 vagy 5; 6: 2 és 3 is osztja. 10ⁿ-nel akkor osztható, ha legalább n záró nulla van. LNKO-ban a közös prímek kisebb, LKKT-ban minden prím nagyobb kitevője szerepel.
Relatív prím számok LNKO-ja 1. Ha N=p₁^a₁…pᵣ^aᵣ, pozitív osztóinak száma (a₁+1)…(aᵣ+1).
Más számrendszerek
b alapban csak 0,…,b−1 számjegyek használhatók. A 231₅=2·25+3·5+1=66.
Tízesből átváltáskor b-vel ismételten osztunk, a maradékokat fordított sorrendben olvassuk. Az írásbeli összeadás átvitele b-nél, nem tíznél történik.
Kidolgozott példa
Számítsd ki 72 és 90 LNKO-ját, LKKT-ját, majd 72 osztóinak számát!
72=2³·3²; 90=2·3²·5.
LNKO=2·3²=18; LKKT=2³·3²·5=360.
A 72 osztóihoz a 2 kitevője 4-féle, a 3-é 3-féle: 4·3=12.
Ellenőrzés: 72·90=18·360.
- A szorzat+1 nem feltétlenül prím; a bizonyítás csak új prímosztót garantál.
Próbáld ki önállóan!
Racionális és irracionális számok, közelítés+
- Számhalmazt és tizedes alakot összekapcsolni.
- Becslést, kerekítést és normálalakot használni.
Racionális az a szám, amely egész számláló és nem nulla egész nevező hányadosaként írható. Tizedes alakja véges vagy végtelen szakaszos.
Az irracionális számok tizedes alakja végtelen és nem szakaszos; a racionális és irracionális számok együtt a valós számok.
Átalakítás
Legyen x=0,272727… Ekkor 100x−x=27, így x=27/99=3/11. Vegyes szakasznál előbb a nem ismétlődő kezdő részt toljuk el.
Az abszolút érték a nullától mért távolság, ezért |x|≥0 és |a−b| két szám távolsága.
Pontosság és bizonyítás
Normálalakban a·10ⁿ, ahol 1≤|a|<10. A kerekítés helyét mindig a kérés és a mértékegység dönti el; köztes számításban őrizz több számjegyet. √2 irracionalitásához tegyük fel, hogy p/q egyszerűsített tört. p²=2q² miatt p páros; p=2k után q is páros, ellentmondva az egyszerűsítettségnek.
Kidolgozott példa
Írd normálalakba 0,00072-t, és oldd meg |x−3|≤2-t!
0,00072=7,2·10⁻⁴.
|x−3| a 3-tól mért távolság. Legfeljebb 2 azt jelenti, hogy −2≤x−3≤2.
Mindhárom taghoz 3-at adva 1≤x≤5, tehát [1;5].
- A hosszú, még nem ismétlődő tizedes kiírás nem bizonyít irracionalitást.
Próbáld ki önállóan!
Normálalak, abszolút érték, kerekítés és zártság+
- A fogalmat a feltételeivel együtt használni.
- A megoldást levezetni, és az eredeti feltételekkel ellenőrizni.
Nemnulla valós szám normálalakja a·10ⁿ, ahol 1≤|a|<10 és n egész. Az abszolút érték a nullától mért távolság: |x|=x, ha x≥0, és −x, ha x<0.
Kerekítésnél a következő számjegy alapján választjuk a közelebbi megadott helyi értékű számot.
Művelet és mérési pontosság
(3·10⁵)(4·10⁻³)=12·10²=1,2·10³. Összeadás előtt azonos hatványra hozzuk a számokat: 2,4·10⁴+3·10³=(2,4+0,3)·10⁴.
Ha 12,347-et századra kerekítjük, 12,35 adódik; a tényleges abszolút hiba 0,003. A századra kerekítés hibája legfeljebb 0,005 a szokásos kerekítés mellett.
Számolás közben több jegyet őrizz meg, és a végső eredményt kerekítsd.
Számhalmazok és műveletek
Zárt a halmaz egy műveletre, ha bármely megengedett két elemének eredménye is benne van. ℤ összeadásra, kivonásra és szorzásra zárt, osztásra nem: 1:2 nincs ℤ-ben. ℚ mind a négy alapműveletre zárt a nullával osztás kizárása mellett. A pozitív valósak szorzásra zártak, kivonásra nem.
Az irracionális számok összeadásra sem zártak: √2+(−√2)=0.
Kidolgozott példa
Számítsd ki (6·10⁷):(3·10⁻²)-t, és adj normálalakot!
Az együtthatók hányadosa 6:3=2.
A tízes hatványok hányadosában a kitevők különbsége 7−(−2)=9.
Az eredmény 2·10⁹. Az együttható az előírt [1;10[ intervallumban van.
- A megengedett értékeket az átalakítás előtt rögzítsd.
- A példabeli ellenőrzés a megoldás része.
Próbáld ki önállóan!
Alapműveletek, műveleti törvények és számológépes ellenőrzés+
- Törttel, tizedes törttel és előjeles számmal biztonságosan számolni.
- A műveleti törvények alkalmazhatóságát eldönteni.
- Számológépes bevitelt becsléssel ellenőrizni.
Az összeadás és szorzás felcserélhető és csoportosítható: a+b=b+a, ab=ba, (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a (bc). A kivonás és osztás általában egyik tulajdonsággal sem rendelkezik.
A szorzás az összeadásra nézve disztributív: a (b+c)=ab+ac. Az osztás nevezője nem lehet nulla.
Törtek és előjelek
Összeadásnál közös nevező kell: 3/4−5/6=(9−10)/12=−1/12. Szorzásnál a számlálókat és nevezőket külön szorozzuk, előzetes egyszerűsítés is megengedett.
Nemnulla törttel osztás annak reciprokával való szorzás: (−2/3): (4/9)=−3/2. Két negatív szám szorzata pozitív, de két negatív összege negatív.
Műveleti sorrend
Előbb zárójel, majd hatványozás, szorzás és osztás, végül összeadás és kivonás; azonos rangú műveleteknél balról jobbra haladunk. 12:3·2=8, míg 12:(3·2)=2. (−3)²=9, de −3²=−9, mert utóbb a hatványt vesszük, majd annak ellentettjét.
Számológép és becslés
A teljes számlálót és nevezőt zárójelezd: (3+5)/(2·4)=1. Ellenőrizd a tizedesjelet és a kijelző előjelét; a billentyű neve eszközönként eltérhet.
Az 1/3 közelítéséből ne számolj tovább idő előtt kerekített 0,33-mal, ha pontos eredmény kell. A 19,8·5,1 szorzatnak a 20·5=100 közelében kell lennie.
Értelmes átrendezés
25·37+25·63=25(37+63)=2500 a disztributivitással. A (a+b)/c=a/c+b/c azonosság c≠0 mellett igaz, de a/(b+c)=a/b+a/c általában hamis: a=b=c=1-nél 1/2≠2.
Minden átrendezésnél a tényleges műveletet és értelmezési feltételt vizsgáld.
Kidolgozott példa
Számítsd ki pontosan (3/4−5/6): (−1/2)+2,5·0,4 értékét!
A zárójelben közös nevezővel 9/12−10/12=−1/12.
(−1/12): (−1/2)=(−1/12)·(−2)=1/6.
2,5·0,4=1; az összeg 7/6.
A két negatív hányadosa pozitív. A végeredmény 1 és 1,2 közé esik; számológéppel a teljes zárójelezett bevitelt ellenőrizzük.
- A kivonás és osztás sorrendjét nem cserélheted szabadon.
- A negatív alapot hatványozás előtt zárójelezd.
Próbáld ki önállóan!
Oszthatósági fogalmak és a tízes számrendszer szabályai+
- Osztót, többszöröst, prímet és összetett számot definiálni.
- Minden előírt oszthatósági szabályt konkrét számra alkalmazni.
- A szabályokat helyi értékből indokolni.
Egész a, b számokra a osztja b-t, ha van egész k úgy, hogy b=ak. Ekkor b az a többszöröse; osztókeresésnél általában pozitív osztókat sorolunk.
Prímszám az 1-nél nagyobb pozitív egész, amelynek pontosan két pozitív osztója van: 1 és önmaga. Összetett számnak kettőnél több pozitív osztója van.
A 0 és az 1 nem prím és nem összetett.
Utolsó számjegyek
2-vel a páros utolsó jegyű; 5-tel a 0-ra vagy 5-re végződő szám osztható. 4-nél az utolsó két, 8-nál az utolsó három jegyből álló számot vizsgáljuk. Indok: N=100q+r, és 4 osztja 100q-t; illetve N=1000q+r, és 8 osztja 1000q-t. 10ᵏ-nal k≥1 egészre pontosan a legalább k záró nullával rendelkező egész számok oszthatók, a nulla is.
Számjegyösszeg és összetett szabály
3 és 9 esetén a számjegyek összegének oszthatósága dönt. Mivel 10,100,1000,… maradéka e két osztónál 1, egy szám és számjegyösszege azonos maradékot ad. 6-tal akkor és csak akkor osztható a szám, ha 2 és 3 is osztja.
A 12-vel oszthatósághoz 3 és 4 együtt kell; 2 és 6 együtt nem elég: 6 ellenpélda.
Prímvizsgálat
Ha N>1 összetett, van legfeljebb √N prímosztója: N=ab, 1<a≤b esetén a²≤N, és a-nak van prímosztója. A 97-nél a 2,3,5,7 vizsgálata elég, egyik sem osztja, ezért prím.
A 121=11² összetett; a négyzetgyököt egyenlőség esetén is vizsgálni kell.
Nulla és negatívak
Bármely nemnulla egész a osztja 0-t, mert 0=a·0. Nemnulla b-t 0 nem oszt, mert 0·k mindig 0.
A definíció szerint 0 osztja 0-t is, de „b/a” hányadosként ezt nem számoljuk. Negatív szám oszthatóságát az abszolút értékén is ellenőrizhetjük; a prímszám fogalma itt pozitív egészekre vonatkozik.
Kidolgozott példa
Döntsd el, hogy 314280 osztható-e 2,3,4,5,6,8,9,10 és 100 valamelyikével!
Utolsó jegye 0: 2,5,10 osztja. Két utolsó jegye 80, ezért 4 is osztja.
Három utolsó jegye 280=8·35, ezért 8 osztja.
Számjegyösszege 18, ezért 3 és 9 osztja; 2 és 3 együtt 6-ot is ad.
100 nem osztja, mert nem két záró nulla szerepel. Minden kért osztót külön vizsgáltunk.
- A 3-mal oszthatóság nem jelenti a 9-cel oszthatóságot.
- A 4 és 8 szabályában nem a számjegyösszeget vizsgáljuk.
Próbáld ki önállóan!
LNKO, LKKT, relatív prímség és gyakorlati modell+
- Prímtényezős felbontást ellenőrizni.
- LNKO-t és LKKT-t számítani és szöveges helyzetben választani.
- Relatív prím számpárt felismerni.
Prímfelbontáskor prímszámokkal osztunk addig, amíg 1 marad; a tényezőket visszaszorozva ellenőrzünk. Két pozitív egész LNKO-ja a közös pozitív osztók legnagyobbika, LKKT-ja a közös pozitív többszörösök legkisebbike.
Relatív prím két pozitív egész, ha LNKO-juk 1; maguknak nem kell prímnek lenniük.
Kitevők választása
84=2²·3·7 és 126=2·3²·7. Közös osztó a közös prímekből legfeljebb a kisebb kitevőt veheti: LNKO=2·3·7=42.
Közös többszörösnek mindkét felbontást tartalmaznia kell: a nagyobb kitevőkkel LKKT=2²·3²·7=252. Hiányzó prímet 0 kitevővel kezelünk.
Euclidész algoritmusa
126=84·1+42, 84=42·2+0. Az utolsó nemnulla maradék 42.
Egy közös osztó 126-ot és 84-et osztja pontosan akkor, ha 84-et és a 42 maradékot is; így a közös osztók halmaza nem változik. A két pozitív számra LNKO·LKKT=ab, mert minden prímnél min (α, β)+max (α, β)=α+β.
Gyakorlati értelmezés
84 piros és 126 kék gyöngyöt azonos összetételű, lehető legtöbb csomagba rakva, maradék nélkül, a csomagszám mindkét készlet osztója: a maximum 42. Csomagonként 2 piros és 3 kék kerül bele. 18 és 24 percenként jelző készülékek együttes indulás utáni első közös jelzése LKKT (18,24)=72 perc múlva lesz.
Relatív prímség és határok
8 és 9 összetett, mégis relatív prím. Ha gcd (a, b)=1, az LKKT a·b.
A „különböző számok” nem ugyanaz, mint a „relatív prímek”: 8 és 12 LNKO-ja 4. A fogalmak itt pozitív számokra adott definícióját használjuk, így a legkisebb pozitív közös többszörös valóban létezik.
Kidolgozott példa
96 cm és 144 cm hosszú szalagot egyforma, lehető leghosszabb darabokra vágunk maradék nélkül. Mennyi egy darab és összesen hány darab lesz?
A darabhossz mindkét hossz osztója; a legnagyobbat keressük, tehát LNKO kell.
96=2⁵·3, 144=2⁴·3²; LNKO=2⁴·3=48 cm.
A darabszám 96/48+144/48=2+3=5.
Az öt darab összhossza 5·48=240 cm, az eredeti 96+144 is 240; nagyobb közös osztó nincs.
- A csomagok számát és a csomagok tartalmát külön számold.
- Közös időpontnál rendszerint közös többszöröst keresünk.
Próbáld ki önállóan!
Helyi érték és oda-vissza átváltás számrendszerek között+
- A b alapú számot hatványösszegként értelmezni.
- 2–9 alapú és tízes számrendszer között átváltani.
- Számjegyet és helyi értéket megkülönböztetni.
b alapú helyiértékes írásmódban b egész és 2≤b≤9; minden számjegy 0,1,…, b−1 lehet. Jobbról az egyes, b, b²,… helyi értékek következnek.
Az alapot alsó index vagy külön szöveg jelzi; azonos számjegysor más alapban általában más számot jelent.
Alapból tízesbe
231₅=2·5²+3·5+1=66. A nulla jegy helyet őriz: 1001₂=1·8+0·4+0·2+1=9.
A 203₃ jelölés hibás, mert 3 nem lehet hármas számrendszerbeli számjegy. A vezető nullák nem változtatják az értéket, de a számjegyek számának feltételébe beleszólhatnak.
Tízesből adott alapba
Az egész számot b-vel osztjuk: N=bq+r, 0≤r<b. r az utolsó számjegy. A q hányadost újra osztjuk, amíg nulla lesz.
A maradékokat fordított sorrendben olvassuk: 66:5=13 maradék 1;13:5=2 maradék 3;2:5=0 maradék 2, ezért 66=231₅. A nulla számot 0-ként írjuk.
Ellenőrzés és méret
Az átváltott számot helyiértékes összegként visszaszámítjuk. n jegyű, nemnulla kezdőjegyű b alapú pozitív szám bⁿ⁻¹≤N<bⁿ közé esik. A 1011₂ értéke 11, ezért négyjegyűként a 8 és 16 közti feltételt teljesíti.
Ez gyors hibaszűrő, de nem helyettesíti a pontos visszaszámítást.
Kidolgozott példa
Írd át a 95 tízes számrendszerbeli számot négyes alapra, majd ellenőrizd!
95:4=23 maradék 3;23:4=5 maradék 3.
5:4=1 maradék 1;1:4=0 maradék 1.
Fordított sorrendben 1133₄.
Vissza: 1·64+1·16+3·4+3=95. Minden jegy kisebb 4-nél.
- A maradékot és hányadost ne cseréld fel.
- A számrendszer alapja maga nem megengedett számjegy.
Próbáld ki önállóan!
Számhalmazok, tizedes alak és műveleti zártság+
- A valós számkör részeit definíció alapján elkülöníteni.
- Tizedes alakból a szám típusára következtetni.
- Zártságot igazolni vagy ellenpéldával cáfolni.
ℕ a természetes számok, ℤ az egészek, ℚ a racionálisak, ℝ a valósak halmaza. ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ. Racionális a p/q alakba írható szám, p, q egész, q≠0.
Az irracionálisak ℝ\ℚ; az OH e követelménypontjában ℚ* jelölésük is szerepel. A jelölést mindig a forrás definíciójával együtt olvasd, mert más szövegben a csillag mást jelenthet.
Tizedes alak
A racionális szám tizedes alakja véges vagy végtelen szakaszos. Osztáskor a nevezőhöz képest csak véges sok maradék lehetséges: a nulla lezárja az osztást, egy ismétlődő maradék ismétlődő jegysort indít.
Véges tizedes tört 10-hatvány nevezőjű tört; szakaszosnál az eltolások különbsége véges egész szám, így törtet kapunk.
Nem minden végtelen alak irracionális
1/3=0,333… és 1=0,999… is racionális. Az irracionális tizedes alak végtelen és nem válik szakaszossá.
A számológép véges kijelzője önmagában egyik tulajdonságot sem bizonyítja. A √n természetes n-re akkor racionális, ha n teljes négyzet; ezt a prímkitevők párossága indokolja.
Számegyenes
A valós számok a számegyenes pontjainak felelnek meg; balra kisebb érték áll. −5/2 a −3 és −2 közé, √2 az 1 és 2 közé kerül. √2 pontos helye egy egységoldalú négyzet átlójának hossza alapján felmérhető;1,414 a pont közelítése. Két irracionális között is van racionális, ezért nincs „következő” valós szám.
Műveleti zártság
Egy halmaz zárt a műveletre, ha minden megengedett bemenetére az eredmény is a halmazban van. ℤ összeadásra, kivonásra, szorzásra zárt, osztásra nem: 1/2 ellenpélda. ℚ a négy alapműveletre zárt, az osztásnál nulla osztó kizárásával: két törttel végzett művelet újra tört. Az irracionálisak nem zártak sem összeadásra (√2−√2=0), sem szorzásra (√2·√2=2).
Kidolgozott példa
Sorold a −3,0,5/8, √49, √8 számokat a lehető legszűkebb szokásos számhalmazba!
−3 egész, de nem természetes;5/8 racionális, de nem egész.
√49=7 természetes;√8=2√2 irracionális.
A 0 egész és racionális. A természetes számok közé sorolása a választott ℕ-konvenciótól függ; ezt a feladat elején rögzítjük.
Mind az öt valós, a különböző címkék nem kizárják, hanem részben tartalmazzák egymást.
- Az irracionálisak nem az ℚ részhalmazai.
- A természetes számok nullára vonatkozó konvencióját rögzítsd.
Próbáld ki önállóan!
Intervallum, abszolút érték és helyi érték szerinti kerekítés+
- Intervallumot egyenlőtlenséggel és ábrával megadni.
- Abszolút értéket távolságként és esetekkel használni.
- Kerekítési pontosságot és hibát megállapítani.
[a; b] a≤x≤b zárt intervallum; ]a; b[ az a<x<b nyílt intervallum. [a; b[ és ]a; b] félig nyíltak. Végtelen végpont sohasem valódi felvehető szám, ezért ott mindig nyitott jelölés áll. |x|=x, ha x≥0, és −x, ha x<0; |x−c| az x és c közti távolság.
Ábrázolás és halmazművelet
A zárt végpont teli, a nyílt üres körrel jelölhető. ]−2;3] és[1;5[ metszete[1;3], uniója]−2;5[. A[2;2] az egyetlen 2 elemet tartalmazza;]2;2[ üres.
A számegyenesen nagyobb szám jobbra áll, negatívaknál−1>−4.
Távolságos feltételek
r≥0 mellett |x−c|≤r ⇔ c−r≤x≤c+r. |x−c|>r a két külső nyílt félegyenest adja. r<0-nál a≤r távolságfeltétel lehetetlen. |−7|=7, és|−2−3|=5 két pont távolsága, nem azok abszolút értékeinek különbsége.
Kerekítés
A megadott helyi értéket megtartjuk, a következő jegy 0–4 esetén lefelé,5–9 esetén felfelé kerekítjük a nagyságot. A pontos felező esetnél itt a nullától távolodó iskolai szabályt választjuk: −2,345 századra −2,35.
Más, például párosra kerekítő szoftverszabály eltérhet, ezért a konvenciót jelezni kell.
Hibahatár
Századra kerekítésnél az abszolút hiba legfeljebb 0,005; tizedre legfeljebb 0,05. A 12,347 századra 12,35, tényleges hibája 0,003.
A tényleges hiba és a maximális hibahatár külön fogalom. Köztes számításban tarts meg több jegyet, a végén kerekíts a kérés szerint.
Kidolgozott példa
Ábrázold és add meg intervallummal |x−1|<3 megoldását! Ezután kerekítsd −4,276-ot századra!
Az 1-től mért távolság szigorúan kisebb 3-nál: −3<x−1<3.
Mindhárom taghoz 1-et adva −2<x<4, tehát]−2;4[.
Mindkét végpontnál üres kör és közöttük a szakasz: a végpont távolsága 3 lenne.
−4,276 századra −4,28; a tényleges abszolút hiba 0,004≤0,005.
- A végtelen végpontot nem zárjuk le.
- A negatív szám abszolút értéke nem negatív.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Két jelzés 12 és 18 percenként szól. Most együtt szóltak.
Hány perc múlva szólnak legközelebb együtt?
A közös időpont 12-nek és 18-nak is többszöröse. A legkisebb pozitív közös többszöröst keressük.
12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², így LKKT = 2² · 3² = 36.
Ellenőrzés: 36/12 = 3 és 36/18 = 2. A következő együtt megszólalás 36 perc múlva lesz.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mennyi 12 és 18 legnagyobb közös osztója?
Megoldás és magyarázat
6 = 2 · 3. Ez más kérdésre válaszol, mint a közös többszörös.
2. kérdés
Két lámpa 8 és 12 másodpercenként villan. Most együtt villantak.
Mikor villannak legközelebb együtt?
Megoldás és magyarázat
24 másodperc múlva. A 8 és 12 legkisebb közös pozitív többszörösét keressük, nem a legnagyobb közös osztót.