Statisztika
Az adatokat előbb elolvassuk és rendezzük, majd többféle mutatóval vizsgáljuk; egyetlen szám nem mond el mindent az adatsorról.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Adat és gyakoriság
Az adat egy megfigyelt érték. A gyakoriság megmondja, hányszor fordul elő; az ismétlődő értékeket minden előfordulásukban számoljuk.
A 2, 2, 5 adatsor három adatot tartalmaz. A 2 gyakorisága kettő.
Átlag és medián
A számtani átlag az adatok összege osztva az adatok számával. A medián a nagyság szerint rendezett adatok közepe; páros elemszámnál a két középső érték átlaga.
A 1, 3, 8 adatsor átlaga 4, mediánja 3.
Módusz és terjedelem
A módusz a leggyakrabban előforduló érték. A terjedelem a legnagyobb és legkisebb adat különbsége; a szóródás egyik egyszerű mutatója.
A 2, 2, 5, 9 adatsor módusza 2, terjedelme 9 − 2 = 7.
A lecke végére: A statisztikai mutatók közül a kérdéshez illőt választod, és megérted a szélső adatok hatását.
Értsd meg az összefüggést!
A számtani átlag minden adatot figyelembe vesz, ezért egy nagyon nagy vagy kicsi érték erősen befolyásolhatja. A medián a rendezett adatsor közepét jelzi.
Páros elemszámnál a két középső adat átlaga; rendezetlen adatsorból nem határozható meg megbízhatóan.
A módusz a leggyakoribb adat, és több is lehet belőle. A terjedelem a legnagyobb és legkisebb adat különbsége: a teljes szóródásról csak két szélső értéket használ.
A különböző mutatók ugyanazt az adatsort más szempontból jellemzik.
Gyakorisági táblázatnál minden értéket annyiszor kell számításba venni, ahányszor előfordult. Diagramot a tengelybeosztás és az adatgyűjtés körének ismeretében értelmezz.
Egy kis önkéntes csoport adataiból nem következik automatikusan az egész társadalom jellemzője.
Nézzük meg egy példán!
Ugyanazok az adatok, más mutatók
| Rendezett adatok | 2; 3; 3; 4; 8 |
|---|---|
| Átlag | (2 + 3 + 3 + 4 + 8)/5 = 4 |
| Medián | A középső adat: 3 |
| Módusz | A leggyakoribb adat: 3 |
| Terjedelem | 8 − 2 = 6 |
A legfontosabb szabályok
- Átlag előtt számold meg, hány adat van.
- Mediánhoz mindig rendezd növekvő sorrendbe az adatokat.
- Diagramnál figyeld, nem nulláról indul-e a tengely.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 4, 7, 7, 10 pont átlaga és mediánja.
1. Összeg: 4 + 7 + 7 + 10 = 28, elemszám: 4.
Átlag: 28/4 = 7 pont.
2. Az adatok már rendezettek.
Két középső értékük 7 és 7; medián: (7+7)/2 = 7 pont.
3. Itt egyenlő a két mutató, de ez nem általános szabály.
Részletes magyarázatok és példák
01Táblázatok és diagramok leolvasása+
A táblázat sor- és oszlopfejléce mondja meg, mire vonatkozik az adat. Diagramnál a tengelyek, jelmagyarázat és egységek olvasásával kezdd.
Ha egy osztás 5 fő, a harmadik osztásig érő oszlop 15 főt jelent, nem 3-at.
02Átlag, medián, módusz és terjedelem+
A 2, 3, 3, 8 adatsor átlaga 16/4 = 4, mediánja (3+3)/2 = 3, módusza 3, terjedelme 8−2 = 6. Páros elemszámnál a mediánhoz a két középső adat átlagát vesszük.
Több érték is lehet azonos gyakorisággal módusz.
03Adatok rendezése és összehasonlítása+
Rendezéskor minden előfordulást tarts meg, az ismétlődő adatokat is. A 6, 2, 6, 4 rendezve 2, 4, 6, 6.
Két csoport összehasonlításakor az átlag mellett a szóródást és a csoportlétszámot is nézd: az azonos átlag nem jelent azonos eloszlást.
04Hiányzó adat visszaszámítása+
Az összeg az átlag és a darabszám szorzata. Ha négy adat átlaga 12, az összeg 48.
Három ismert adat 8, 10 és 14, összegük 32, tehát a hiányzó adat 48−32 = 16. Ellenőrzésként mind a négy adatból számíts új átlagot.
05Félrevezető skálák és mértékegységek felismerése+
A levágott függőleges tengely felnagyíthatja a különbség látványát. A 98-ról 100-ra emelkedés csak 2 egység, még ha az oszlopmagasság látványosan nő is.
Nézd meg azt is, darabszámot vagy százalékot mutatnak-e, és azonos időszakokat hasonlítanak-e össze.
Lépésről lépésre, részletesen
Átlag és koordinátarendszer+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Átlag az adatok összege osztva darabszámukkal. Ez egy kiegyenlített érték, nem feltétlenül fordul elő az adatsorban.
Ha átlag és darabszám adott, összeg=átlag·darabszám.
Hiányzó adat
Négy szám átlaga 7, tehát összegük 28. Ha három összege 20, a negyedik 8.
Csoportok átlagát nem egyszerűen átlagoljuk, ha a létszámuk eltér: az összeg és összes létszám számít.
Nyolcadikos kiegészítés
Medián a rendezett lista közepe, páros elemszámnál két középső átlaga; módusz a leggyakoribb. Gyakoriság előfordulásszám, relatív gyakoriság arány.
Kiugró érték az átlagot erősebben befolyásolhatja, mint a mediánt.
Kidolgozott példa
Öt futás idejének átlaga 12 perc. Négy idő összege 47 perc.
Mennyi az ötödik?
Összes idő 5·12=60 perc.
Hiányzó 60−47=13 perc.
(47+13)/5=12 ellenőrzi.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Az öt utazási idő 10, 12, 12, 14 és 52 perc. Mit mutat az átlag és a medián?
Az összeg 100 perc, ezért az átlag 100/5 = 20 perc.
Az adatsor rendezett, a középső érték 12: ez a medián. A módusz is 12, mert kétszer fordul elő.
Az 52 perces szélső érték felhúzza az átlagot. A legtöbb utazás 10–14 perces; a medián ezt a központi helyzetet jobban érzékelteti.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mi a 3, 5, 9, 11 adatsor mediánja?
Megoldás és magyarázat
A két középső adat 5 és 9, így a medián (5 + 9)/2 = 7. Nem kell szerepelnie az adatsorban.
2. kérdés
Miért kell megőrizni mindkét 4-et a 4, 4, 10 adatsor átlagának számításakor?
Megoldás és magyarázat
Két külön megfigyelés értéke 4. Az összeg 18, az elemszám 3, az átlag 6.
A különböző értékek száma nem az elemszám.