Statisztika
Az adatokat előbb elolvassuk és rendezzük, majd többféle mutatóval vizsgáljuk; egyetlen szám nem mond el mindent az adatsorról.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (6) →
Alapfogalmak, példákkal
Adat és gyakoriság
Az adat egy megfigyelt érték. A gyakoriság megmondja, hányszor fordul elő; az ismétlődő értékeket minden előfordulásukban számoljuk.
A 2, 2, 5 adatsor három adatot tartalmaz. A 2 gyakorisága kettő.
Átlag és medián
A számtani átlag az adatok összege osztva az adatok számával. A medián a nagyság szerint rendezett adatok közepe; páros elemszámnál a két középső érték átlaga.
A 1, 3, 8 adatsor átlaga 4, mediánja 3.
Módusz és terjedelem
A módusz a leggyakrabban előforduló érték. A terjedelem a legnagyobb és legkisebb adat különbsége; a szóródás egyik egyszerű mutatója.
A 2, 2, 5, 9 adatsor módusza 2, terjedelme 9 − 2 = 7.
A lecke végére: A statisztikai mutatók közül a kérdéshez illőt választod, és megérted a szélső adatok hatását.
Értsd meg az összefüggést!
A számtani átlag minden adatot figyelembe vesz, ezért egy nagyon nagy vagy kicsi érték erősen befolyásolhatja. A medián a rendezett adatsor közepét jelzi.
Páros elemszámnál a két középső adat átlaga; rendezetlen adatsorból nem határozható meg megbízhatóan.
A módusz a leggyakoribb adat, és több is lehet belőle. A terjedelem a legnagyobb és legkisebb adat különbsége: a teljes szóródásról csak két szélső értéket használ.
A különböző mutatók ugyanazt az adatsort más szempontból jellemzik.
Gyakorisági táblázatnál minden értéket annyiszor kell számításba venni, ahányszor előfordult. Diagramot a tengelybeosztás és az adatgyűjtés körének ismeretében értelmezz.
Egy kis önkéntes csoport adataiból nem következik automatikusan az egész társadalom jellemzője.
Nézzük meg egy példán!
Ugyanazok az adatok, más mutatók
| Rendezett adatok | 2; 3; 3; 4; 8 |
|---|---|
| Átlag | (2 + 3 + 3 + 4 + 8)/5 = 4 |
| Medián | A középső adat: 3 |
| Módusz | A leggyakoribb adat: 3 |
| Terjedelem | 8 − 2 = 6 |
A legfontosabb szabályok
- Átlag előtt számold meg, hány adat van.
- Mediánhoz mindig rendezd növekvő sorrendbe az adatokat.
- Diagramnál figyeld, nem nulláról indul-e a tengely.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 4, 7, 7, 10 pont átlaga és mediánja.
1. Összeg: 4 + 7 + 7 + 10 = 28, elemszám: 4.
Átlag: 28/4 = 7 pont.
2. Az adatok már rendezettek.
Két középső értékük 7 és 7; medián: (7+7)/2 = 7 pont.
3. Itt egyenlő a két mutató, de ez nem általános szabály.
Részletes magyarázatok és példák
01Táblázatok és diagramok leolvasása+
A táblázat sor- és oszlopfejléce mondja meg, mire vonatkozik az adat. Diagramnál a tengelyek, jelmagyarázat és egységek olvasásával kezdd.
Ha egy osztás 5 fő, a harmadik osztásig érő oszlop 15 főt jelent, nem 3-at.
02Átlag, medián, módusz és terjedelem+
A 2, 3, 3, 8 adatsor átlaga 16/4 = 4, mediánja (3+3)/2 = 3, módusza 3, terjedelme 8−2 = 6. Páros elemszámnál a mediánhoz a két középső adat átlagát vesszük.
Több érték is lehet azonos gyakorisággal módusz.
03Adatok rendezése és összehasonlítása+
Rendezéskor minden előfordulást tarts meg, az ismétlődő adatokat is. A 6, 2, 6, 4 rendezve 2, 4, 6, 6.
Két csoport összehasonlításakor az átlag mellett a szóródást és a csoportlétszámot is nézd: az azonos átlag nem jelent azonos eloszlást.
04Hiányzó adat visszaszámítása+
Az összeg az átlag és a darabszám szorzata. Ha négy adat átlaga 12, az összeg 48.
Három ismert adat 8, 10 és 14, összegük 32, tehát a hiányzó adat 48−32 = 16. Ellenőrzésként mind a négy adatból számíts új átlagot.
05Félrevezető skálák és mértékegységek felismerése+
A levágott függőleges tengely felnagyíthatja a különbség látványát. A 98-ról 100-ra emelkedés csak 2 egység, még ha az oszlopmagasság látványosan nő is.
Nézd meg azt is, darabszámot vagy százalékot mutatnak-e, és azonos időszakokat hasonlítanak-e össze.
06Súlyozott átlag és szórás+
Súlyozott átlagban az értékeket gyakoriságukkal szorozva összegezzük, majd a gyakoriságok összegével osztunk. Két 3-as és egy 6-os átlaga (2·3+6)/3=4.
Egy adatsor szórása az átlagtól vett négyzetes eltérések átlagának négyzetgyöke: a 2 és 4 átlaga 3, szórása √[(1+1)/2]=1. Ez az adatsor leíró szórása; a korrigált mintaszórás más nevezőt használ.
Lépésről lépésre, részletesen
Adatok, középértékek, kvartilisek és szóródás+
- Adatsort rendezni és gyakorisággal számolni.
- Ábrázolás torzításait és középértékek érzékenységét felismerni.
Átlag az összeg osztva darabszámmal, medián a rendezett sor közepe, módusz a leggyakoribb érték. Páros darabszámnál a két középső átlaga a medián.
Súlyozott átlagban Σwᵢxᵢ/Σwᵢ; gyakoriság táblázatánál a súly az előfordulásszám.
Szóródás és dobozdiagram
Terjedelem maximum−minimum. Szórás σ=√(Σ(xᵢ−x̄)²/n) a teljes adatsor népességi szórásaként; az n−1 nevező más, mintából becslő képlet.
Átlagos abszolút eltérés Σ|xᵢ−x̄|/n. A kvartilisek a rendezett adatokat négy részre osztják; kis mintánál több megállapodás van, ezért a használt módszert rögzítsd.
Dobozdiagramhoz minimum,Q₁,medián,Q₃,maximum kell.
Adatok értelmezése
Relatív gyakoriság=gyakoriság/összes adat. Kördiagram arányokat, oszlopdiagram kategóriákat, hisztogram folytonos osztályközöket mutat.
Csonkolt tengely, eltérő osztályközszélesség vagy területarányosan nagyított képek torzíthatnak. A korreláció nem önmagában ok-okozat; a minta kiválasztása és a hiányzó adatok is korlátozzák a következtetést.
Kidolgozott példa
Az adatok 2,2,4,8. Számíts átlagot, mediánt, móduszt és szórást!
Átlag 16/4=4, medián (2+4)/2=3, módusz 2.
Négyzetes eltérések 4,4,0,16; összegük 24.
Népességi szórás √(24/4)=√6. Terjedelem 8−2=6.
- Mediánt csak rendezett adatsorból olvass le.
Próbáld ki önállóan!
Mintavétel, súlyozott átlag és statisztikai döntés+
- A definícióból és az adatokból kiindulni.
- Minden esetet, a határokat és a mértékegységet ellenőrizni.
Véletlenszerű mintavételnél a kiválasztás véletlen eljárása ad lehetőséget a sokaság tulajdonságainak becslésére. Önként jelentkező válaszadók mintája akkor is torzíthat, ha nagy.
Az adatokat rendezés, gyakoriság és mérési egység alapján vizsgáljuk, és csak utána választunk mutatót vagy diagramot.
Átlag és szóródás
n₁ elemű, ā₁ átlagú és n₂ elemű, ā₂ átlagú adathalmaz egyesített átlaga (n₁ā₁+n₂ā₂)/(n₁+n₂): a csoportösszegeket adjuk, majd a teljes létszámmal osztunk. Súlyozott átlag Σwᵢxᵢ/Σwᵢ.
Átlagos abszolút eltérés Σ|xᵢ−x̄|/n. Kiugró érték az átlagot jobban eltéríti, mint a mediánt; kereseti adatoknál ezért a medián és a teljes eloszlás különösen hasznos.
A módusz a leggyakoribb kategóriát vagy értéket mutatja.
Diagramválasztás és torzítás
Oszlopdiagram kategóriák összehasonlítására, kördiagram egy egész megoszlására, sodrófa öt szám és a szóródás bemutatására alkalmas. A doboz két széle Q₁,Q₃, belsejében a medián.
Az összevetéshez azonos skála és azonos kvartilis-megállapodás kell. A levágott oszloptengely felnagyíthat különbséget; a nullától induló tengely és világos egység javítja.
Százalékhoz az alapsokaságot is meg kell adni, és egy együttjárásból önmagában nem következik okság.
Kidolgozott példa
Tíz tanuló átlaga 4, húsz tanulóé 7. Mennyi az egyesített átlag?
Az első csoport összege 10·4=40, a másodiké 20·7=140.
A teljes összeg 180, a létszám 30, így az átlag 6.
A két átlag egyszerű 5,5 átlaga hibás lenne, mert a csoportlétszámok eltérnek. A nagyobb csoport átlaga nagyobb súlyt kap.
- A használt tétel feltételeit nevezd meg.
- A mintából csak az indokolt tartományra következtess.
Próbáld ki önállóan!
Adatok rendezése, három diagram és grafikus megtévesztés+
- A modellt, adatokat és feltételeket pontosan megadni.
- Önálló számítással, ábrával és szöveges indoklással értelmezni az eredményt.
Az adatgyűjtés előtt rögzítsd, kit vagy mit vizsgálsz, milyen változót és milyen egységben mérsz. Kategóriánként az előfordulások száma a gyakoriság, annak n-hez viszonyított aránya a relatív gyakoriság.
Hiányzó adatot ne tekints nullának. A táblázatban minden megfigyelés egyszer és egyetlen kategóriában szerepeljen.
Táblázat és osztályba sorolás
20 válasz: A,A,B,C,B,C,C,A,B,C,B,C,C,B,A,C,B,C,C,C. Gyakorisági táblázat: A:4; B:6; C:10; összesen20.
Relatív gyakoriság rendre0,2;0,3;0,5. Számszerű adatnál [0;10[, [10;20[, [20;30] osztályok a határértékeket egyszer sorolják be:10 a másodikban,20 a harmadikban van.
A kategóriát és a számértéket ne cseréld össze.
Oszlop és kör készítése
Oszlopdiagramon az A,B,C kategóriákhoz azonos szélességű,0-ról induló4,6,10 magasságú oszlop tartozik; y-tengely fő, egységes skála. Kördiagramon a szögek360°·f/n, tehát72°,108°,180°.
Körzővel kört, szögmérővel egymás utáni középponti szögeket rajzolj, címkézd20%,30%,50%-kal. A teljes kör az egész20 válasz.
Idősorhoz vonaldiagram, két számszerű változó kapcsolatához pontdiagram megfelelő; a kör részesedéseket, az oszlop kategóriákat hasonlít össze.
Sodrófa készítése
Rendezett2,4,4,6,8,8,10,12 adatok mediánja(6+8)/2=7. Ebben a leckében a kvartilisek a két négyes fél mediánjai: Q₁=4,Q₃=9; páratlan elemszámnál a középső adatot kihagyjuk a felekből.
Vízszintes skálán a doboz4-től9-ig, benne mediánvonal7-nél; az itt választott minimum–maximum bajusz2-ig és12-ig ér. Más program interpolált kvartilist és1,5·IQR-bajuszt használhat: jelezd a konvenciót, ne keverd őket.
A megadott vizsgafeladat módszere az irányadó.
Manipuláció javítása
4 és6 fő 3-nál indított oszlopainak látható hossza1 és3: hamis háromszoros benyomás, valódi arány6/4=1,5. Javíts0-ra induló tengellyel, azonos szélességgel és mértékegységgel.
Képes diagramon a sugár kétszerezése négyszeres területet ad; a terület legyen az adattal arányos. Összehasonlításnál azonos skálát és azonos időszakot használj.
Folytonos osztályok hisztogramjában eltérő osztályszélességnél gyakoriságsűrűség=f/szélesség kell, hogy az oszlopterület legyen a gyakoriság.
Kidolgozott példa
Készíts táblázatot, oszlop- és kördiagramot a4,6,10 gyakoriságokból! Mit mutat a C kategória?
n=20; a táblázat relatív gyakoriságai20%,30%,50%.
Oszlopmagasságok4,6,10 fő; körcikkek72°,108°,180°, összeg360°.
C a válaszadók fele,10 fő; ebből önmagában a teljes népességre nem következik50%.
- A kvartilis- és bajuszkonvenciót mindig rögzítsd.
- Mintabeli részesedés nem automatikusan népességi arány.
Próbáld ki önállóan!
Középértékek, szórás és adathalmazok egyesítése+
- A modellt, adatokat és feltételeket pontosan megadni.
- Önálló számítással, ábrával és szöveges indoklással értelmezni az eredményt.
Átlag az adatösszeg osztva elemszámmal; medián a rendezett sor középső értéke vagy a két középső átlaga. Módusz a leggyakoribb érték: több is lehet, és minden egyszer előforduló adatnál nincs kitüntetett módusz.
Terjedelem maximum mínusz minimum; IQR=Q₃−Q₁ a középső fél szóródása.
Szórás definícióból
Az itt vizsgált teljes adathalmaz szórása σ=√[Σ(xᵢ−x̄)²/n].2,4,4,6,8,8,10,12 összeg54,átlag6,75. A négyzetösszeg444, ezért variancia444/8−6,75²=9,9375=159/16;σ=√159/4≈3,1524.
Medián7,Q₁4,Q₃9,terjedelem10, két módusz4 és8. Szórás egysége ugyanaz, mint az adat, variancia négyzetes egységű.
Számológépen teljes-adat σₓ funkció kell; az n−1-es mintaszórás más fogalom.
Egyesítés és súlyozás
n₁ adat átlaga a,n₂-é b: összes adatösszeg n₁a+n₂b, egyesített átlag(n₁a+n₂b)/(n₁+n₂).10 elem átlaga4 és30 elem átlaga8 esetén átlag7, nem6. A súlyozott átlag Σwᵢxᵢ/Σwᵢ, wᵢ≥0 és pozitív összsúly; gyakoriságnál a súly az előfordulásszám.
Csak átlagokból és elemszámokból a szórás általában nem határozható meg.
Összehasonlítás és átalakítás
2,4,6 és4,4,4 átlaga4 mindkettőnél, de az első szórása√(8/3), a másodiké0. Minden adathoz2-t adva átlag,medián,kvartilisek2-vel nőnek; szórás,terjedelem,IQR változatlan.
Minden adatot3-mal szorozva szórás és terjedelem3-szoros; negatív szorzónál a rendezés megfordul, a szórás a szorzó abszolút értékével változik.
Kidolgozott példa
Számítsd ki1,3,3,5 átlagát, mediánját, móduszát, terjedelmét és szórását!
Összeg12,n=4,átlag3; rendezett középérték(3+3)/2=3,módusz3.
Terjedelem5−1=4; négyzetes eltérések4,0,0,4.
Variancia8/4=2,σ=√2. A négy adatot+10-zel eltolva átlag13,σ ugyanúgy√2.
- Eltérő létszámok átlagait súlyozd.
- A szóráshoz a négyzetes eltérések átlaga kell.
Próbáld ki önállóan!
Sodrófák összevetése és megalapozott statisztikai következtetés+
- A modellt, adatokat és feltételeket pontosan megadni.
- Önálló számítással, ábrával és szöveges indoklással értelmezni az eredményt.
Statisztikai kijelentés egy megfigyelési csoport adatait foglalja össze; népességre következtetéshez a kiválasztást, elemszámot és bizonytalanságot is mérlegelni kell. A megfigyelt együttjárás önmagában nem bizonyít ok-okozatot, és átlagos eredményből nem következik minden egyén eredménye.
Középérték megválasztása
Bérek ezer Ft-ban:300,300,350,350,2000. Átlag660,medián350, két módusz300 és350.
Tipikus dolgozó béréhez a szélsőérték ellen ellenálló medián jó; teljes bértömeghez az átlag kell, mert5·660=3300. Kategóriaadatból, például kedvenc színből nincs értelmes számtani átlag; a módusz használható.
Emelt: abszolút eltérés és súly
Átlagos abszolút eltérés az itt választott átlagtól d=Σ|xᵢ−x̄|/n.1,3,3,5 esetén x̄=3,d=(2+0+0+2)/4=1;σ=√2. Az eltérés középpontját jelezni kell.3 dolgozó400 és2 dolgozó700 ezer Ft-os bére súlyozottan(3·400+2·700)/5=520; átlagos abszolút eltérés(3·120+2·180)/5=144 ezer Ft.
Emelt: sodrófa-összehasonlítás
A:2,4,4,6,8,8,10,12 és B:4,6,6,8,10,10,12,14. Azonos min–max és felezett-minta konvencióval A öt száma2,4,7,9,12;B-é4,6,9,11,14.
B mediánja2-vel magasabb; IQR mindkettőnél5,terjedelem10 és szórás azonos, mert B=A+2. A doboz nem mutat minden egyedi adatot vagy az elemszámot; puszta átfedésből nincs szignifikanciateszt.
Értelmezés határa
Önkéntes internetes felmérésben80/100 elégedett: a válaszadók80%-a. Nem jogos automatikusan az összes vásárló80%-át állítani, mert a válaszolás függhet az elégedettségtől.
Két iskola eltérő átlagát tanítási módszer okozatának állítani nem lehet előzetes tudás, összetétel és azonos mérés ellenőrzése nélkül. Megalapozott következtetés: az adott adatokban eltérő átlag látható; az ok és általánosíthatóság további adatot kíván.
Kidolgozott példa
A300,300,350,350,2000 ezer Ft-os bérekből jellemezd a tipikus bért és teljes bértömeget!
Összeg3300 ezer Ft,átlag660;medián350.
A szélső2000 az átlagot felfelé húzza, a tipikus középső dolgozó350-et keres.
Tipikus bérhez medián350; teljes bértömeghez5·660=3300 ezer Ft. Mindkettő értelmes, eltérő kérdésre.
- A középértéket a kérdéshez válaszd.
- Az adatok különbsége nem bizonyít okságot.
Próbáld ki önállóan!
Véletlen minta, reprezentativitás és torzítás+
- A modellt, adatokat és feltételeket pontosan megadni.
- Önálló számítással, ábrával és szöveges indoklással értelmezni az eredményt.
Sokaság a vizsgálat teljes célcsoportja, minta az abból kiválasztott megfigyelések. Egyszerű véletlen n-elemű, visszatevés nélküli mintában minden n-elemű részhalmaz egyenlő esélyű.
A véletlenszerű kiválasztás esélyeket jelent, nem garantál minden egyes mintában tökéletes arányokat.
Megvalósítás
120 tanuló teljes névsorát1–120 azonosítókkal ellátjuk.20 különböző azonosítót torzításmentes véletlen választással sorsolunk, minden kiválasztottat azonos kérdéssel mérünk. Nem helyettesítjük a nehezen elérhetőket a barátainkkal.
Nemválaszolást és hiányzó adatot külön jelentünk. Minden tanuló kiválasztási esélye20/120=1/6; két előre megadott tanuló közös kiválasztási esélye(20/120)(19/119), nem(1/6)².
Emelt: rétegzés és véletlen szerepe
80 alsóbb és40 felsőbb évfolyamosból12 alsóbb és6 felsőbb tanuló rétegenkénti véletlen választása arányos rétegzett18-as minta. Mindkét csoportban esély0,15.
Ha10–10 főt választunk, a rétegátlagokat a sokasági80 és40 súllyal kell egyesíteni; egyszerű20-as átlaguk általában eltér a sokasági becsléstől. A véletlen a rétegen belüli személyes válogatást kerüli el; nem változtatja az80:40 népességi arányt.
Torzítás és következtetés
Csak az első padsort, önkéntes kommentelőket vagy hétfő délelőtt elérhetőket kérdezni kényelmi minta: a vizsgált jellemzővel összefüggő kiválasztás torzíthat. Egy nagy torzított minta nem lesz helyes pusztán méretétől.
Időrendi listában minden tizedik adat kiválasztása periodikus mintázattal ütközhet; véletlen kezdés sem old fel minden periodicitást. A megfigyelést azonos módon, lehetőleg előre kijelölt eljárással kell elvégezni.
Kidolgozott példa
120 tanulóból20 fős egyszerű véletlen mintát szeretnél. Írj eljárást és magyarázd el egy tanuló esélyét!
Teljes névsor, egyedi1–120 azonosítók és20 különböző véletlen azonosító.
Minden20-as részhalmaz egyformán valószínű; egy tanuló20/120=1/6 eséllyel kerül be.
Az eljárás nem garantál pontos évfolyamarányt minden mintában; torz helyettesítés és eltérő kérdezés ronthatja.
- Véletlen minta nem garantáltan pontos másolata a népességnek.
- A hiányzó válasz nem nulla.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Az öt utazási idő 10, 12, 12, 14 és 52 perc. Mit mutat az átlag és a medián?
Az összeg 100 perc, ezért az átlag 100/5 = 20 perc.
Az adatsor rendezett, a középső érték 12: ez a medián. A módusz is 12, mert kétszer fordul elő.
Az 52 perces szélső érték felhúzza az átlagot. A legtöbb utazás 10–14 perces; a medián ezt a központi helyzetet jobban érzékelteti.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mi a 3, 5, 9, 11 adatsor mediánja?
Megoldás és magyarázat
A két középső adat 5 és 9, így a medián (5 + 9)/2 = 7. Nem kell szerepelnie az adatsorban.
2. kérdés
Miért kell megőrizni mindkét 4-et a 4, 4, 10 adatsor átlagának számításakor?
Megoldás és magyarázat
Két külön megfigyelés értéke 4. Az összeg 18, az elemszám 3, az átlag 6.
A különböző értékek száma nem az elemszám.