Valószínűség
Az esély számítása előtt pontosan meghatározzuk a kísérlet kimeneteleit, az eseményt és a választott modell feltételeit.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Kimenetel és esemény
A kimenetel a kísérlet egy lehetséges eredménye. Az esemény azoknak a kimeneteleknek a halmaza, amelyek megfelelnek egy feltételnek.
Egy kockadobás kimenetele lehet 4. A páros dobás eseményéhez a 2, 4 és 6 tartozik.
Klasszikus valószínűség
Véges, egyformán valószínű kimeneteleknél a valószínűség a kedvező esetek és az összes eset számának hányadosa. Egyenlő esély nélkül a puszta esetszámolás nem elég.
Szabályos kockával a páros dobás valószínűsége 3/6 = 1/2.
Komplementer esemény
A komplementer azt jelenti, hogy az eredeti esemény nem következik be. Valószínűsége az eredeti esemény valószínűségének 1-re való kiegészítése.
Szabályos kockán a nem hatos dobás esélye 1 − 1/6 = 5/6.
A lecke végére: A valószínűséget a megengedett kimenetelekből, megfelelő feltételekkel számítod ki.
Értsd meg az összefüggést!
A kedvező esetek és az összes eset aránya akkor használható közvetlenül, ha az elemi kimenetelek egyformán valószínűek. Szabályos kockán a hat szám ilyen, de a „páros” és a „hatost dobunk” nem egyforma méretű esemény.
Az esemény több kimenetelt tartalmazhat. A „legalább egy” és a „pontosan egy” eltérő feltétel.
Két dobásnál a sorrend is segít a teljes esetlista elkészítésében: az első fej és második írás külön kimenetel a fordítottjától.
Visszatevés nélküli húzásnál a második lépésben megváltozik a készlet, ezért az esély is. Az első húzás eredményétől függő ágak külön valószínűséget kapnak.
A végeredmény 0 és 1 közé kell essen; ez hasznos, de önmagában nem elég ellenőrzés.
Nézzük meg egy példán!
Egy szabályos dobókocka
| Esemény | Kedvező kimenetelek | Valószínűség |
|---|---|---|
| Páros szám | 2, 4, 6 | 3/6 = 1/2 |
| 4-nél nagyobb | 5, 6 | 2/6 = 1/3 |
| 7-es dobás | Nincs | 0 |
A legfontosabb szabályok
- Használj faábrát több egymás utáni eseménynél.
- Független események együttes valószínűségét szorozzuk.
- Egymást kizáró események valószínűségét összeadhatjuk.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: szabályos kockán 4-nél nagyobbat dobunk.
1. Az összes kimenetel száma 6.
2. Kedvező az 5 és a 6, tehát 2 eset.
3. P = 2/6 = 1/3.
A 4 nem kedvező, mert a feltétel szigorúan nagyobbat kér.
Részletes magyarázatok és példák
01Esemény és kimenetel+
Egy szabályos kocka dobásának kimenetelei 1,2,3,4,5,6. A „párosat dobunk” esemény a {2,4,6} halmaz.
Biztos esemény az összes kimenetelt tartalmazza, lehetetlen esemény egyet sem.
02Kedvező és összes eset+
Kedvező eset az, amelyik teljesíti a kérdés feltételét. Két kockánál a rendezett párokból 36 van, nem 12.
A (2;5) és (5;2) eltérő kimenetel, ha megkülönböztetjük a két kockát.
03Klasszikus valószínűség+
A kedvező/összes képlet feltétele az egyenlő esély. Szabályos kockán P(páros)=3/6=1/2.
A dobott összeg lehetséges értékei nem egyforma esélyűek: a 7-es összeg többféleképpen jön ki, mint a 2-es.
04Komplementer esemény+
A komplementer esemény azt jelenti, hogy A nem következik be. P(nem A)=1−P(A).
Szabályos kockán P(nem hatos)=1−1/6=5/6. A „legalább egy” típusú kérdésnél gyakran a „semennyi” eseményt egyszerűbb számolni.
05Faábra, függetlenség és visszatevés+
Faábra mentén a feltételes ágvalószínűségeket szorozzuk. Két piros és egy kék golyóból visszatevés nélkül két piros húzásának esélye (2/3)·(1/2)=1/3.
Visszatevéssel (2/3)²=4/9. Függetlenséget csak indokoltan feltételezz.
Lépésről lépésre, részletesen
Gyakoriság és valószínűségi modell+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Egyenlő esélyű véges eseteknél a valószínűség kedvező esetek száma osztva összes esettel. A relatív gyakoriság mért arány; a modell szerinti esélyt nem kell pontosan adnia kevés próbából.
Esemény és mintatér
Kocka szabályossága biztosítja a hat egyenlő esélyű oldalt. Páros dobás három kedvező eset, ezért 1/2.
Két dobásnál számpárokat sorolunk, nem csak összegeket: a lehetséges összegek nem egyenlő esélyűek.
Visszatevés és ellenőrzés
Golyóhúzásnál a visszatevés eldönti, változik-e a készlet. Két húzásnál az összes esetet és kedvezőt azonos módon számold.
A valószínűség 0 és 1 közötti; 0 lehetetlen, 1 biztos esemény.
Kidolgozott példa
Egy zsákban 3 piros,2 kék golyó van. Egyet húzva mennyi a kék esélye?
Öt egyenlő esélyű golyó, két kedvező.
P=2/5=0,4.
Ez 40%; nem jelenti, hogy minden öt húzásból pontosan két kék lesz.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Két szabályos érmedobásnál mekkora a pontosan egy fej valószínűsége?
A négy egyformán valószínű rendezett kimenetel: fej–fej, fej–írás, írás–fej, írás–írás.
Pontosan egy fej két kimenetelben van: fej–írás és írás–fej.
A valószínűség 2/4 = 1/2. Legalább egy fej viszont három kimenetelben van, ezért annak esélye 3/4.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Egy szabályos kockán mekkora az 5-nél nagyobb szám esélye?
Megoldás és magyarázat
Egyetlen kedvező kimenetel a 6, így a valószínűség 1/6.
2. kérdés
Két megkülönböztetett szabályos kocka dobott összege egyforma eséllyel lehet 2 és 7?
Megoldás és magyarázat
Nem. A 2 egyféleképpen, a 7 hatféle rendezett számpárral jön ki.
Az egyforma esély a 36 rendezett kimenetelre vonatkozik.