Függvények és grafikonok
A hozzárendelést képlettel, táblázattal és grafikonnal is értelmezzük, majd összekapcsoljuk a háromféle leírást.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Függvény
A függvény az értelmezési tartomány minden eleméhez pontosan egy értéket rendel. Több bemenethez tartozhat ugyanaz a kimenet.
f(x) = x² esetén f(2) = 4 és f(−2) = 4. Ez továbbra is függvény.
Értelmezési tartomány és értékkészlet
Az értelmezési tartomány a megengedett bemenetek, az értékkészlet a ténylegesen felvett kimenetek halmaza.
A valós számokon értelmezett x² értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.
Grafikon és zérushely
A grafikon (x; f(x)) pontokból áll. Zérushely az az x érték, amelyhez nulla függvényérték tartozik.
f(x) = 2x − 6 zérushelye x = 3. A grafikon az x tengelyt (3; 0)-ban metszi.
A lecke végére: A függvény képletét, értéktáblázatát és grafikonját összekapcsolod.
Értsd meg az összefüggést!
A függvény minden megengedett bemenethez pontosan egy kimenetet rendel. A képlet a számolási szabályt, a táblázat néhány összetartozó értéket, a grafikon pedig a kapcsolat képét mutatja.
Ugyanaz az x nem kaphat két különböző y értéket egy függvényben.
Az értelmezési tartomány a megengedett bemenetek halmaza. Hétköznapi modellben a képlet algebrailag lehet értelmes több számra is, mint amennyire a helyzet engedi: a megtett idő például nem negatív.
A zérushely bemeneti érték, ahol a kimenet nulla.
Lineáris függvénynél f(x) = mx + b. Az m megmutatja, mennyivel változik a függvényérték, ha x eggyel nő; b az x = 0-hoz tartozó érték.
A tengelymetszet és a zérushely ezért nem ugyanaz a fogalom.
Nézzük meg egy példán!
Egy szabály, több összetartozó érték
A legfontosabb szabályok
- Határozd meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet.
- Grafikonon olvasd le a monotonitást, szélsőértéket és zérushelyet.
- Eltolás: f(x)+c függőleges, f(x−c) vízszintes eltolás.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: f(x)=2x−4. Mennyi f(3), és hol a zérushely?
1. Helyettesítés: f(3)=2·3−4=2.
2. Zérushelyhez 2x−4=0, tehát x=2.
3. Ellenőrzés: f(2)=0.
A két kérdés más mennyiséget kért.
Részletes magyarázatok és példák
01Értelmezési tartomány és értékkészlet+
Az f(x) = 1/x függvénynél x = 0 kizárt. Az f(x) = x² valós bemeneteken csak nemnegatív értékeket vesz fel, ezért az értékkészlete [0;∞).
A képlet önmagában nem mindig adja meg a feladatban megengedett összes bemenetet.
02Képlet, értéktáblázat és grafikon+
Értéktáblázatban kiválasztott x-ekhez kiszámítjuk f(x)-et, majd a (x;f(x)) pontokat ábrázoljuk. Ha f(x)=2x+1, akkor x=0-hoz 1, x=2-höz 5 tartozik.
Néhány pont csak akkor határozza meg az egész grafikont, ha a függvény típusát is ismerjük.
03Zérushely és tengelymetszet+
A zérushely olyan bemenet, amelyhez nulla tartozik: f(x)=0. Az y tengelymetszet, ha értelmezett, (0;f(0)).
Az f(x)=2x−4 zérushelye x=2, y tengelymetszete (0;−4). A zérushely szám, a grafikon megfelelő pontja (2;0).
04Monotonitás és szélsőérték+
Egy intervallumon szigorúan növekvő a függvény, ha a nagyobb bemenethez nagyobb értéket rendel. Minimumérték a legkisebb felvett érték; minimumhely az a bemenet, ahol felveszi.
Az x² minimumhelye 0, minimumértéke 0; nem minden függvénynek van minimuma.
05Grafikontranszformációk+
Az f(x)+c grafikonját c-vel függőlegesen, az f(x−c) grafikonját c-vel vízszintesen toljuk el. A −f(x) az x tengelyre tükröz.
Az (x−2)²+3 parabola csúcsa (2;3), ezért zérushelye a valós számok között nincs.
Lépésről lépésre, részletesen
Pontok, egyenes arányosság és grafikon+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A síkbeli koordinátapárban először vízszintesen, utána függőlegesen tájékozódunk. A tengelyek metszése az origó (0;0).
Grafikonról mindig a tengely feliratával és egységével együtt olvasunk.
Pont és mozgás
(−3;2) hárommal balra, kettővel felfelé van. x tengely pontjain y=0, y tengelyen x=0. Ha a pont 4-gyel jobbra mozdul, csak első koordinátája nő 4-gyel.
Hozzárendelés
Nyolcadikban függvény minden megengedett bemenethez egy kimenetet ad. Egyenes arányosság y=kx, grafikonja origón átmenő egyenes; az egységár állandó esetén áru ára így modellezhető.
Grafikon meredekebb szakasza gyorsabb változást jelezhet, ha a skálák azonosak.
Kidolgozott példa
(−2;3) pontot 5-tel jobbra és 2-vel lefelé mozgatjuk. Hol lesz?
Vízszintes koordináta −2+5=3.
Függőleges 3−2=1.
Az új pont (3;1).
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy kölcsönzés díja 1000 Ft alapdíj és óránként 600 Ft. Írd fel a díjat, és számítsd ki három órára!
Legyen t az idő órában. A díj f(t) = 600t + 1000 forint; a helyzetben t ≥ 0.
Három órára f(3) = 600 · 3 + 1000 = 2800 Ft.
A grafikon 1000-nél metszi a függőleges tengelyt. Az algebrai zérushely negatív lenne, ezért a tényleges időtartományban nincs ingyenes kölcsönzés.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Az f(x) = 2x − 6 függvény zérushelye 0 vagy 3?
Megoldás és magyarázat
3, mert f(3) = 0. A 0 bemenethez −6 tartozik; ez az y-tengelymetszet.
2. kérdés
Az f(x) = 3x − 1 függvénynél mennyi f(2), és mi a zérushely?
Megoldás és magyarázat
f(2) = 5. A zérushelyhez 3x − 1 = 0-t oldunk meg: x = 1/3.
A függvényérték és a bemenet külön mennyiség.