Algebra

aˣaʸ=a^(x+y), aˣ/aʸ=a^(x−y), (aˣ)ʸ=a^(xy) a megfelelő alap- és értelmezési feltételekkel. Szorzat gyöke szétbontható nemnegatív tényezőkre, összeg gyöke általában nem.

A kiterjesztés permanenciaelve a korábbi műveleti törvényeket őrzi meg.

logₐb az a kitevő, amelyre aˣ=b; a>0, a≠1, b>0. Szorzat logaritmusa összeadódik, hányadosé kivonódik; logₐ(bᵏ)=klogₐb, pozitív b mellett.

Alapváltás: logₐb=log_c b/log_c a. A szorzattörvény abból következik, hogy aˣaʸ=a^(x+y).

(a±b)²=a²±2ab+b²; a²−b²=(a−b)(a+b). Először közös tényezőt keress, utána azonosságot vagy csoportosítást. aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+…+bⁿ⁻¹).

Páratlan n-nél aⁿ+bⁿ is osztható a+b-vel, váltakozó előjelekkel. Ezeket visszaszorzással igazolhatod.

Közös tényezőt egyszerűsítünk, összeadás tagját nem. (x²−4)/(x−2)=x+2 csak x≠2 esetén. Közös nevezőre hozás előtt írd fel az összes eredeti nevező nemnulla feltételét; az egyszerűsített alak nem teszi megengedetté a kizárt pontot.

Pozitív egész m,n esetén aᵐaⁿ a tényezők összefűzésével aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ n darab m tényezőből aᵐⁿ. A negatív kitevők definíciójával és egyszerűsítéssel ugyanez egész kitevőknél is igaz, a≠0 mellett. a,b≥0 esetén √a√b nemnegatív, négyzete ab, ezért √a√b=√(ab).

Hányadosnál b>0 szükséges. √(a²)=|a|; a gyök nem lehet negatív. Pozitív alap irracionális kitevőjét egyre pontosabb racionális közelítések hatványértékeinek határértéke szemlélteti.

Legyen a>0, a≠1, x,y>0; u=logₐx, v=logₐy, tehát x=aᵘ és y=aᵛ. xy=aᵘ⁺ᵛ, innen logₐ(xy)=u+v. x/y=aᵘ⁻ᵛ, innen a különbségszabály; xᵗ=aᵘᵗ, innen logₐ(xᵗ)=t logₐx. Más alaphoz legyen c>0,c≠1. x=aᵘ egyenlet c alapú logaritmusa log_cx=u log_ca, ezért logₐx=log_cx/log_ca.

A nevező nem nulla, mert a≠1.

n≥2 egész esetén páratlan n-re n√a az az egyetlen valós x, amelyre xⁿ=a; negatív a is megengedett. Páros n-nél a≥0 kell, és a nemnegatív gyököt választjuk. ³√(−8)=−2, ⁴√16=2.

A valós x²=16 egyenletnek két gyöke van, de a √16 jel egyetlen, pozitív 4-et jelent.

Pozitív a, b és valósan értelmezett kitevők esetén aʳaˢ=aʳ⁺ˢ, aʳ/aˢ=aʳ⁻ˢ,(aʳ)ˢ=aʳˢ,(ab)ʳ=aʳbʳ,(a/b)ʳ=aʳ/bʳ. Negatív alap és egész kitevő megengedhető, de a tört kitevőre kiterjesztett szabályokat nem alkalmazzuk feltétel nélkül.

Például (−8)^(1/3) jelölést külön páratlan gyökértelmezés indokolhatja; a pozitív alapú általános szabály nem erre épül.

a, b≥0 esetén √(ab)=√a √b; a≥0, b>0 esetén √(a/b)=√a/√b. Minden valós a-ra √(a²)=|a|.

Páratlan n-re az n-edik gyök szorzatszabálya negatív tényezőknél is érvényes, párosnál a valós gyökök feltételeit kell tartani. Az összeg gyöke nem bomlik tagonként: √(9+16)=5, de 3+4=7.

Páratlan n-re n√(ab)=(n√a)(n√b) minden valós a, b esetén; n√(a/b)=(n√a)/(n√b) b≠0 mellett. Páros n-re ugyanazok a képletek a, b≥0, hányadosnál b>0 mellett igazak.

A jobb oldal n-edik hatványa az ab, illetve a/b, és páros n-nél nemnegatív, így a definíció szerint a megfelelő gyök. n√(aⁿ) páratlan n-nél a, páros n-nél |a|. Pozitív a-ra (n√a)ᵐ=n√(aᵐ) egész m esetén, és n√(q√a)=(nq)√a n, q≥2 egészre; az utóbbi mindkét oldala pozitív, nq-adik hatványa a.

√72=√(36·2)=6√2. 3/√5=3√5/5, a számlálót és nevezőt ugyanazzal a nemnulla √5-tel szorozzuk. √(x²y)=|x|√y y≥0 mellett. A négyzetgyökös kifejezés eredeti értelmezési tartományát az egyszerűsítés után is megőrizzük.

log₂(1/8)=−3, mert 2⁻³=1/8. log_(1/2)8=−3, mert (1/2)⁻³=8. Az argumentum pozitív, a logaritmus értéke ettől még lehet negatív. log₁5, log_(−2)8 és log₂0 a valós logaritmus e definíciójában nem értelmezett.

Legyen x=logₐb, így aˣ=b. Tízes alapú logaritmust véve x·lg a=lg b, ezért logₐb=lg b/lg a.

A nevező nemnulla, mert a≠1; lg a definíciójához a>0, lg b-hez b>0 kell. Például log₂8=lg 8/lg 2=3.

log₅7=lg 7/lg 5≈1,20906. A teljeslg 5 nevezőt zárójelezd, és csak a hányados végén kerekíts.

Ellenőrzés: 5¹<7<5², így az érték 1 és 2 közé esik;5^1,20906≈7. A ln billentyű természetes alapú logaritmust jelent; azonos alap a számlálóban és nevezőben szintén jó, de a követelménypont tízes alapú átváltást is kér.

x, y>0 mellett logₐ (xy)=logₐx+logₐy, logₐ (x/y)=logₐx−logₐy, logₐ (xᵗ)=tlogₐx. Az összegre nincs ilyen szabály.

A logₐ (x²)=2logₐx átalakítás csak x>0-ra ilyen alakú; x≠0 esetén a megfelelő általános alak 2logₐ|x|.

2x(x−3)+3(x−3)=(2x+3)(x−3). Kifejtve 2x²−3x−9; visszaszorzás ellenőrzi. 6x²y−9xy²=3xy (2x−3y).

A kiemelt tényező nem feltétlenül szám, teljes közös zárójel is lehet.

(2x−3)²=4x²−12x+9. 9x²−25=(3x−5)(3x+5). x²+6x+9=(x+3)². Az a²+b² valós számok közti átalakítására nem használható a különbségképlet; a középső 2ab tagot négyzetnél mindig ellenőrizd.

1/(x−1)+1/(x+1)=2x/(x²−1), x≠±1. A számláló összevonása közös nevezőn történik. (x²−4)/(x−2)=x+2 csak x≠2 mellett; tényezőt egyszerűsítünk, összeadandót nem.

Törttel osztáskor a második tört értéke sem lehet 0.

Behelyettesítés egy-egy megengedett értéken alkalmas hibakeresésre, de azonosság bizonyításához általános átalakítás kell. Az eredeti és az egyszerűsített kifejezés közös tartományán kell összevetni az értékeket; kizárt pontban nincs eredeti érték.