Függvényvizsgálat

(f∘g)(x)=f(g(x)); csak olyan x megengedett, amelyre g(x) f tartományába kerül. Az inverz grafikonja az y=x-re tükrözés; x² egész R-en nem invertálható, de [0;∞[-re szűkítve inverze √x.

A pontonkénti összeg/szorzat tartománya a tartományok metszete; hányadosnál a nevezőfüggvény nem lehet nulla.

f(x−a)+b a grafikont a-val jobbra, b-vel felfelé tolja. −f(x) az x tengelyre, f(−x) az y tengelyre tükröz. c·f(x) függőleges skálázás. Vizsgáld a nullhelyet, előjelet, monotonitást, korlátosságot, szélsőértéket, párosságot, periodicitást.

Páros függvényre f(−x)=f(x), páratlanra f(−x)=−f(x), szimmetrikus tartományon.

x² páros, x³ páratlan és szigorúan növekvő. Pozitív páros egész hatványok U alakúak, a páratlanok előjelet tartanak.

A √x növekvő és konkáv. Az abszolútérték-függvény V alakú; x<0-ra −x, x≥0-ra x.

aˣ pozitív, f(0)=1; a>1-re nő, 0<a<1-re csökken. Inverze logₐx, melynek tartománya ]0;∞[, értékkészlete R, nullhelye 1.

A logaritmus alapváltása függőleges skálázásként is olvasható. Sin és cos periódusa 2π, értékkészlete [−1;1]; tan periódusa π, és π/2+kπ-nél nem értelmezett.

Konvergens sorozatok összegének, különbségének és szorzatának határértéke a határértékekkel végzett művelet. Hányadosnál a nevező határértéke nem lehet nulla. |q|<1 esetén qⁿ→0, ezért a végtelen mértani sor összege a₁/(1−q). |q|≥1 esetén ezt a képletet nem alkalmazzuk konvergens összegként.

A függvény x→a határértéke az a-hoz közeledő bemenetek értékeit írja le. A kétoldali határértékhez a bal és jobb oldalinak egyeznie kell. a-ban folytonos, ha ott értelmezett és lim f(x)=f(a). (x²−1)/(x−1) határértéke 1-ben 2, bár a függvény eredeti alakja ott nincs értelmezve.

f(x)=x² az ℝ-en nem injektív: f(2)=f(−2). A [0;∞[ tartományra megszorítva injektív, értékkészlete [0;∞[, inverze √x.

Az ]−∞;0] megszorításon az inverz −√x. Megszorításkor az eredeti képlet megmarad, a tartomány szűkül.

Kiterjesztéskor az új függvény a régi tartományon pontosan a régivel egyezik; például (x²−1)/(x−1) kiterjeszthető 1-ben a 2 értékkel, de az eredeti függvénynek ettől még nem volt ott értéke.

f±g és fg közös tartománya D_f∩D_g; f/g-nél g(x)≠0 is kell. (f∘g)(x)=f(g(x)) tartománya azok a g-beli x-ek, amelyek képe f tartományában van. f(x)=√x, g(x)=x−2: f∘g=√(x−2), D=[2;∞[; g∘f=√x−2, D=[0;∞[. Az összetétel sorrendje általában számít.

Inverz grafikonja az y=x egyenesre tükrözött eredeti grafikon.

aₙ=2+3/n esetén |aₙ−2|=3/n<ε, amint n>3/ε. Választható például N=⌈3/ε⌉; ezért a határérték 2.

A (−1)ⁿ sorozat korlátos, de a páros tagok 1, a páratlanok −1 értékűek, így egyetlen A körül nem marad minden későbbi tag. aₙ₊₁−aₙ előjele monotonitást, közös alsó és felső korlát korlátosságot igazol. Monoton és korlátos valós sorozat konvergens.

Véges helyen a (x²−4)/(x−2) függvény 2-ben nem értelmezett, de x≠2 esetén x+2, ezért határértéke 4. Végtelenben (2x+1)/(x−3) határértéke 2 a főhatványra osztással.

Tágabb értelemben 1/x²→+∞ x→0-nál: bármilyen nagy M érték fölé kerül kellően kis nemnulla |x| mellett. 1/x két oldali végtelen határértéke nem közös: a bal oldal −∞, a jobb +∞. Folytonossághoz a helyettesítési értéknek léteznie és a határértékkel egyeznie kell.

y=2x esetén (−1;−2),(0;0),(1;2),(2;4) egy egyenesen áll. y=4/x esetén (1;4),(2;2),(4;1) az első síknegyedben, a hozzájuk tartozó negatív koordinátapárok a harmadikban vannak. k<0-nál a hiperbola a második és negyedik síknegyedbe kerül. Az ábrán az összehasonlíthatóság kedvéért mindkét tengely azonos léptékű.

Állandó 450 Ft/kg árnál az y ár az x tömeg 450-szerese. Kétszeres tömeg kétszeres ár.

Ha emellett minden rendeléshez 500 Ft csomagolás jár, y=450x+500 már nem egyenes arányosság: a grafikon nem az origón megy át, és y/x változik. A lineáris kapcsolat nem mindig egyenes arányosság.

Állandó 120 km úton t=120/v óra, v>0 km/h. Kétszeres sebesség fele menetidő, ha a távolság és a sebesség állandó.

Munkásoknál fordított arányosság csak azonos teljesítmény, megosztható munka és változatlan munkamennyiség mellett indokolt; a valós együttműködési veszteség eltéríthet.

Egyenes arányosságnál a nemnulla x-hez tartozó hányadosokat, fordítottnál a szorzatokat hasonlítjuk. x=1,2,4 és y=12,6,3 szorzatai mind 12, tehát fordított modellhez illenek. Három adatpont illeszkedése a teljes valós helyzetre csak akkor bizonyít modellhelyességet, ha a feltételeket is megvizsgáltuk.

f:[−2;3]→ℝ, f(x)=x²: f(−2)=4, f(3)=9. Tartomány [−2;3], képhalmaz ℝ, értékkészlet [0;9]. f(x)=4-ből ±2 egyaránt megengedett; f(x)=8-ból csak √8, mert −√8<−2.

Ugyanaz a képlet más tartományon más függvényt ad.

900 Ft alapdíj és kilométerenként 240 Ft esetén C(s)=900+240s Ft, s≥0 km. C(5)=2100 Ft; C(s)=3300-ból s=10 km.

Az alapdíj miatt nem egyenes arányosság. Folytonosan mért távolság lehet valós; darabszámhoz egész tartomány kell.

f=√x, g=x−1: összeg √x+x−1, különbség √x−x+1, szorzat √x(x−1), mind x≥0-n. Hányados √x/(x−1), D=[0;∞[∖{1}.

Egyszerűsítéskor a régi tiltott pont megmarad: (x²−1)/(x−1)=x+1 csak x≠1-re.

f=√x, g=x−1: f∘g=√(x−1), D=[1;∞[; g∘f=√x−1, D=[0;∞[. f=1/x, g=x²−4 esetén f∘g=1/(x²−4), x≠±2.

f(x)=2x+1, ℝ→ℝ bijektív. y=2x+1-ből x=(y−1)/2, így f⁻¹(x)=(x−1)/2. Az eredeti (−1;−1),(0;1),(1;3) pontokból (−1;−1),(1;0),(3;1) lesz: y=x-re tükrözött grafikon. f(f⁻¹(x))=x és f⁻¹(f(x))=x.

Véges A={1;2;3}, B={a; b; c}, 1↦b,2↦c,3↦a szintén bijekció. Ha B-ben d kép nélkül marad, már nem szürjektív.

Megszorításkor az új tartomány a régi része, a szabály változatlan. x² a nemnegatív valósakon √x, a nempozitívakon −√x inverzű. Kiterjesztéskor bővítjük a tartományt, minden régi érték megtartásával. (x²−4)/(x−2) x≠2-n x+2; 2-ben 4 választása folytonos kiterjesztés, 5 választása kiterjesztés, de nem folytonos.

ax+b az ℝ-en értelmezett; a előjele szerint nő, csökken vagy állandó. a≠0-nál nullhely −b/a, R=ℝ; a=0-nál R={b}. x²: D=ℝ, R=[0;∞[, minimum (0;0). ax²+bx+c, a≠0 csúcsa x₀=−b/(2a), y₀=c−b²/(4a). a>0-nál minimum, előtte csökken, utána nő; a<0-nál maximum, előtte nő, utána csökken.

√x: D=R=[0;∞[, növekvő; pontok (0;0),(1;1),(4;2),(9;3). 1/x: D=R=ℝ∖{0}, a két tengely aszimptota. Mindkét külön ágon csökken, de teljes széttagolt tartományán nem: −1<1 mellett f(−1)<f(1).

aˣ, a>0, a≠1: D=ℝ, R=]0;∞[, (0;1), nincs nullhely, y=0 aszimptota. a>1-nél nő, 0<a<1-nél csökken. 2ˣ pontjai (−1;1/2),(0;1),(1;2),(2;4); (1/2)ˣ ezek y tengelyre tükrözött képe.

a/x, a≠0: D=R=ℝ∖{0}, páratlan; a>0-nál mindkét ágon csökken, a<0-nál nő. a=0 külön eset: 0/x x≠0-n állandó 0. logₐx, a>0, a≠1: D=]0;∞[, R=ℝ, nullhely 1; a>1-nél nő,0<a<1-nél csökken, x=0 aszimptota. Inverze aˣ.

sin páratlan, cos páros, D=ℝ, R=[−1;1], alapperiódus 2π. sin nullhelyei kπ, maximumhelyei π/2+2kπ; cos nullhelyei π/2+kπ, maximumhelyei 2kπ. sin nő [−π/2+2kπ;π/2+2kπ]-n, csökken [π/2+2kπ;3π/2+2kπ]-n; cos nő [−π+2kπ;2kπ]-n, csökken [2kπ;π+2kπ]-n. k egész, szög radiánban.

tg páratlan, alapperiódus π, D=ℝ∖{π/2+kπ}, R=ℝ; minden ]−π/2+kπ;π/2+kπ[ ágon nő, nullhelyei kπ. log₂|x| D=ℝ∖{0}, páros, R=ℝ. sin(x²) D=ℝ, páros; a belső négyzet miatt a szinusz 2π periódusa nem vihető át egyszerű x-eltolásként.

−2(x−1)²+4 az x² jobbra 1-gyel, függőlegesen −2-szeresre, majd felfelé 4-gyel módosított képe. Csúcs (1;4), pontok (0;2),(2;2),(−1;−4),(3;−4).

R=]−∞;4], maximum 4, nullhelyek 1±√2, nő a csúcsig, utána csökken.

|x²−1| [−1;1]-en 1−x², kívül x²−1;0-ban helyi maximum 1,±1-nél globális minimum 0. √(x−2)+1 tartománya [2;∞[, R=[1;∞[, pontjai (2;1),(3;2),(6;3). A tartomány kezdőpontja is tolódik.

−2sin(3x)+1: D=ℝ, R=[−1;3], alapperiódus 2π/3, amplitúdó 2. 2√(−x)+1: D=]−∞;0], R=[1;∞[, pontok (0;1),(−1;3),(−4;5), balról jobbra csökken.

a=0-nál f(ax+b)=f(b), ha b megengedett; nincs 1/a pontképlet. c=0-nál az eredeti összetett kifejezés tartományát megtartjuk: 0·(1/x) x=0-ban továbbra sem értelmezett.

Intervallumon konvex, ha f((1−λ)x+λy)≤(1−λ)f(x)+λf(y),0≤λ≤1. A görbe a húr alatt vagy rajta van; konkávnál fordítva. x²-nél jobb oldal mínusz bal oldal λ(1−λ)(x−y)²≥0;−x² konkáv, egyenes mindkettő.

Kétszer differenciálható függvénynél f″≥0 elegendő konvexitásra, f″≤0 konkavitásra az intervallumon. x³ konkáv a nempozitív, konvex a nemnegatív félegyenesen,0 inflexió. |x| konvex,0-ban mégsem differenciálható. sin páratlan, cos páros, mindkettő korlátos és 2π periodikus. x² csak alulról korlátos;1/x a teljes tartományán egyik oldalról sem.

40 m kerületnél x és 20−x az oldalak,0<x<20. A=x(20−x)=100−(x−10)², maximum 100 m² a 10 és 10 m oldalakkal.

Ha 2≤x≤6, a csúcs nincs bent; ott A nő, maximum A(6)=84, minimum A(2)=36.

0<x<20 esetén A>0, de x→0⁺-nál A→0. A 0 alsó korlát nem elért minimum.

Darabszámnál egész jelöltek kellenek: −(n−2,4)²+10, n=0,…,4 maximuma n=2-nél 9,84; n=3-nál 9,64.

(x²−4)/(x−2)=x+2 x≠2-n; határértéke 4, de 2-ben nincs értéke. f(2)=4-gyel folytonosan kiterjeszthető. (3x²+1)/(2x²−x)→3/2 x→±∞ főhatványra osztva. 1/x²→+∞ x→0 mindkét oldalán;1/x balról −∞, jobbról +∞, nincs közös. x²→+∞ x→∞, nem véges számhoz tart.

a-ban f(a) létezik, a határérték végesen létezik, és egyenlő f(a)-val. A 0-nál 0, x<0-nál −1, x>0-nál 1 függvény ugrásos, két egyoldali határértéke eltér. |x| 0-ban folytonos, de nem differenciálható.

Tartomány végpontján a megengedett oldalról közelítünk.