Differenciálszámítás
A változás ütemét először szelők meredekségével közelítjük, majd ebből jutunk az érintőhöz és a deriválthoz.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (7) →
Alapfogalmak, példákkal
Differenciahányados
A függvényérték változását a bemenet változásával osztva két pont közötti átlagos változási ütemet kapunk.
f(x) = x² esetén 1-től 3-ig a változási ütem (9 − 1)/(3 − 1) = 4.
Derivált
A derivált a differenciahányados határértéke, ha a másik pont a vizsgált ponthoz közeledik. Ahol létezik, az érintő meredekségét adja.
Az x² deriváltja 2x, ezért x = 3-nál az érintő meredeksége 6.
Szélsőértékjelölt
Belső szélsőértéknél a derivált nulla lehet, vagy a függvény nem deriválható. A jelölt még nem bizonyított szélsőérték; zárt intervallumon a végpontokat is ellenőrizzük.
Az x³ deriváltja 0 a nullában, még sincs ott szélsőértéke.
A lecke végére: A deriváltat helyi változásként értelmezed, és teljes szélsőérték-vizsgálatot végzel.
Értsd meg az összefüggést!
A derivált a függvény helyi változását, geometriailag az érintő meredekségét írja le. Pozitív derivált az adott intervallumon növekedésre, negatív derivált csökkenésre utal, ha a szükséges feltételek teljesülnek.
A derivált értéke és a függvény értéke külön mennyiség.
A nulla derivált szélsőértékjelöltet ad, de önmagában nem bizonyít szélsőértéket. Az x³ deriváltja nullánál nulla, a függvény mégis tovább nő.
Vizsgáld az előjelváltozást vagy használj megfelelő másik indoklást.
Zárt intervallumon a végpontok is jelöltek; nem deriválható belső pontban szintén lehet szélsőérték. Optimalizálásnál előbb a történet megengedett tartományát határozd meg, és a kapott helyhez tartozó függvényértéket is számítsd ki.
Nézzük meg egy példán!
Mozgasd az érintési pontot!
Próbáld ki a = 0-nál: az érintő vízszintes. Negatív a-nál lefelé, pozitív a-nál felfelé halad.
A legfontosabb szabályok
- Belső szélsőértékjelöltek: f′(x)=0 vagy nem deriválható pont; zárt intervallumon a végpontokat is ellenőrizd.
- A derivált előjele mutatja a monotonitást.
- Érintő egyenlete: y=f'(x₀)(x−x₀)+f(x₀).
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: deriváld az f(x)=3x²−4x+5 függvényt, és keresd meg a minimumát.
1. Tagonként: (3x²)′=6x, (−4x)′=−4, az 5 deriváltja 0.
Tehát f′(x)=6x−4.
2. A jelölt: 6x−4=0, innen x=2/3.
Előtte a derivált negatív, utána pozitív, így ez minimumhely.
3. Minimumérték: f(2/3)=11/3.
A minimumhely és a minimumérték két külön szám.
Részletes magyarázatok és példák
01A derivált jelentése+
Átlagos változási sebesség: [f(a+h)−f(a)]/h, ahol h≠0. Ha h nullához közelítésével ez egy véges számhoz tart, ez a határérték f′(a).
A határérték közelítést jelent, nem h=0 behelyettesítését. Az |x| függvénynek 0-ban nincs deriváltja: balról −1, jobbról 1 a meredekség.
02Alapvető deriválási szabályok+
Konstans deriváltja 0, x-é 1, xⁿ-é n·xⁿ⁻¹ a megfelelő értelmezési helyeken. Összeget tagonként deriválunk; állandó szorzó kiemelhető.
Szorzat: (uv)′=u′v+uv′; hányados: (u/v)′=(u′v−uv′)/v², v≠0. Láncszabály: [g(h(x))]′=g′(h(x))h′(x).
Így [(3x+1)²]′=6(3x+1). (eˣ)′=eˣ, (ln x)′=1/x, (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x; trigonometrikus deriválásnál radiánnal számolunk.
03Érintő és meredekség+
Az érintő átmegy az (a;f(a)) ponton, meredeksége f′(a). Egyenlete y=f(a)+f′(a)(x−a).
Ha f(x)=x² és a=3, akkor f(3)=9, f′(3)=6; az érintő y=9+6(x−3)=6x−9. Az érintő nem feltétlenül csak egy pontban metszi a teljes grafikont.
04Monotonitás és szélsőérték+
Ha egy intervallumon f′>0, a függvény szigorúan növekszik; ha f′<0, csökken. Szélsőértékjelölteknél a derivált előjelét kétoldalt vizsgáljuk: mínuszról pluszra váltás minimumot, pluszról mínuszra váltás maximumot jelez. f′=0 önmagában nem elég: x³-nál 0-ban nincs szélsőérték.
Zárt intervallumon a végpontokat is ellenőrizd.
05Második derivált és görbület+
A második derivált f′ deriváltja. Egy intervallumon f″>0 esetén a grafikon konvex, f″<0 esetén konkáv.
Inflexiónál a görbület jellege változik; f″=0 csak lehetséges jelölt. Az x⁴ második deriváltja 0-ban nulla, még sincs ott inflexió, mert a görbület nem vált.
Lépésről lépésre, részletesen
Derivált definíciója, szabályai és érintő+
- Differenciahányadosból deriváltat értelmezni.
- Szorzatot, hányadost és összetett függvényt deriválni.
f′(a)=lim_h→0 [f(a+h)−f(a)]/h, ha létezik véges határérték. Ez az érintő meredeksége és a pillanatnyi változási sebesség.
A differenciálhatóság folytonosságot eredményez, fordítva nem: |x| folytonos, de 0-ban a két oldali meredekség eltér.
Szabályok és levezetés
(f+g)′=f′+g′; (fg)′=f′g+fg′; (f/g)′=(f′g−fg′)/g² ahol g≠0; (f∘g)′=f′(g)g′. (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹, (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x radiánban. x² definíciós levezetése: ((x+h)²−x²)/h=2x+h→2x. A szorzatszabályban a számlálóhoz hozzáadott és kivont f(x+h)g(x) két különbözetet hoz létre.
Érintő és normális
Az érintő egyenlete y=f(a)+f′(a)(x−a). f′(a)≠0-nál a normális meredeksége −1/f′(a); vízszintes érintőnél függőleges normális adódik. A pont értékét és a derivált értékét is számítsd ki, ne csak a meredekséget.
Kidolgozott példa
Deriváld f(x)=(x²+1)³-at, és add meg az x=1-beli érintőt!
A külső függvény harmadik hatvány, belső x²+1.
Láncszabály: f′(x)=3(x²+1)²·2x=6x(x²+1)².
f(1)=8, f′(1)=24. Érintő: y=8+24(x−1)=24x−16.
- A láncszabályban a belső függvény deriváltja nem hagyható el.
Próbáld ki önállóan!
Monotonitás, konvexitás és optimalizálás deriválttal+
- Derivált előjeléből változást következtetni.
- Zárt intervallumon teljes szélsőértékvizsgálatot végezni.
Pozitív derivált növekedést, negatív derivált csökkenést jelez intervallumon. A f′=0 egyenlet lehetséges szélsőértékhelyeket ad, de a nulla derivált önmagában nem bizonyít szélsőértéket: x³-nál 0-ban nincs irányváltás.
Vizsgáld a derivált előjelváltását és a tartományhatárokat.
Második derivált
f″>0 konvex, f″<0 konkáv görbeszakaszt jelez. Inflexiós pontnál konvexitásváltás történik; f″=0 csak jelöltet ad.
Ha f′(a)=0 és f″(a)>0, helyi minimum; f″(a)<0, helyi maximum. Nulla második deriváltnál további vizsgálat szükséges.
Optimalizálás
Írd fel az optimalizált mennyiséget egy változóval és a fizikai tartományt. Folytonos függvény zárt korlátos intervallumon felveszi minimumát és maximumát; a belső kritikus pontokat és végpontokat összehasonlítjuk.
A végén a keresett eredeti mennyiséget és mértékegységet add meg.
Kidolgozott példa
Jellemezd f(x)=x³−3x-et a [−2;2] intervallumon!
f′=3x²−3=3(x−1)(x+1). Pozitív x<−1 és x>1, negatív −1<x<1.
Helyi maximum x=−1-nél 2; helyi minimum x=1-nél −2.
Végpontok: f(−2)=−2, f(2)=2. Az abszolút maximum 2 két helyen, minimum −2 szintén két helyen.
f″=6x, ezért 0-nál konvexitásváltás és inflexió van.
- Nyílt tartomány esetén a határérték nem feltétlenül elért maximum vagy minimum.
Próbáld ki önállóan!
Hatványfüggvény deriváltjának és deriválási szabályoknak alapja+
- A definícióból és az adatokból kiindulni.
- Minden esetet, a határokat és a mértékegységet ellenőrizni.
Differenciahányados [f(x+h)−f(x)]/h két pont közötti átlagos változás h≠0 mellett. A derivált ennek h→0 határértéke, ha létezik.
Az xⁿ deriváltjának bizonyításához a binomiális tétel teszi láthatóvá a h-val osztható tagokat.
Hatványfüggvény teljes levezetése
n pozitív egészre (x+h)ⁿ=xⁿ+n xⁿ⁻¹h+C(n,2)xⁿ⁻²h²+…+hⁿ. xⁿ kivonása és h≠0-val osztás után n xⁿ⁻¹+C(n,2)xⁿ⁻²h+…+hⁿ⁻¹ marad. h→0 mellett az első kivételével minden tag nullához tart; így (xⁿ)′=n xⁿ⁻¹. n=0 esetén az állandó 1 különbséghányadosa 0. A bizonyítás n természetes kitevőre szól; más kitevőhöz további tétel kell.
Szorzat és hányados
f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x) számlálóba f(x+h)g(x)-et hozzáadva és kivonva a különbséghányados f(x+h)[g(x+h)−g(x)]/h+g(x)[f(x+h)−f(x)]/h. Határértéke fg′+gf′, mert a differenciálható f folytonos.
Hányadosnál ugyanez a közös nevezővel, g(x)≠0 mellett (f′g−fg′)/g². Az összetett függvényben a belső változás sebessége is szorzó: (f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x).
Radiánban (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x, (tg x)′=1/cos²x ott, ahol értelmezett.
Az n=0 és n=1 határeset
n=1-nél a különbséghányados minden h≠0 mellett 1; itt nem kell magasabb binomiális tagot felírni. n=0 esetén az állandó 1 deriváltja 0 minden valós x-ben. A 0·x⁻¹ alakot x=0-ban nem használjuk: az állandó függvényt közvetlenül kezeljük.
A többtagú binomiális levezetést n≥2-re írjuk fel.
Kidolgozott példa
Deriváld x² sin x-et és adj érintőt x=0-ban!
Szorzatszabály szerint f′(x)=2x sin x+x² cos x.
f(0)=0 és f′(0)=0.
Az érintő y=f(0)+f′(0)(x−0)=0. A nulla meredekség önmagában nem bizonyít szélsőértéket: a függvény 0 körül x³-hoz hasonló előjellel vált.
- A használt tétel feltételeit nevezd meg.
- A mintából csak az indokolt tartományra következtess.
Próbáld ki önállóan!
Derivált definíciója és minden alapműveleti szabály+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
A differenciahányados [f(a+h)−f(a)]/h, h≠0 a két pont közti szelő meredeksége. A differenciálhányados f′(a) ennek h→0 véges határértéke, ha létezik.
Deriválhatóság folytonosságot jelent, fordítva nem.
Definíció és összeadás
x²-re [(a+h)²−a²]/h=2a+h→2a. a=1, h=0,1 mellett szelőmeredekség 2,1, érintőé 2. (f+g)′=f′+g′,(f−g)′=f′−g′,(cf)′=cf′. (3x⁴−2x²+7)′=12x³−4x; állandó deriváltja 0.
Szorzat, hányados és ellenpélda
(fg)′=f′g+fg′;(f/g)′=(f′g−fg′)/g², g≠0. (x²sin x)′=2x sin x+x²cos x. [(x²+1)/(x−1)]′=(x²−2x−1)/(x−1)², x≠1. |x| 0-beli különbséghányadosa h>0-nál 1, h<0-nál −1, nincs közös derivált.
Kidolgozott példa
Definícióból határozd meg x²+3x deriváltját a=2-ben!
f(2+h)−f(2)=7h+h².
h≠0-val osztva 7+h.
Határérték 7; szabállyal f′(x)=2x+3, f′(2)=7.
- Szorzat deriváltja nem deriváltak szorzata.
- Hányadosnál az eredeti nevező nemnulla.
Próbáld ki önállóan!
Láncszabály és trigonometrikus deriváltak radiánban+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
(f∘g)′=f′(g(x))g′(x), ha a belső és külső függvény a megfelelő helyen differenciálható. Radiánban (sin x)′=cos x,(cos x)′=−sin x,(tg x)′=1/cos²x a tangens tartományán.
Összetett hatvány
[(3x−1)⁴]′=4(3x−1)³·3=12(3x−1)³. [(x²+1)³]′=6x(x²+1)². A külső deriválás megtartja a teljes belső kifejezést, a belső derivált külön szorzó.
Trigonometria és szögmérték
[sin(2x)]′=2cos(2x),[cos(x²)]′=−2x sin(x²),[tg(3x)]′=3/cos²(3x), x≠π/6+kπ/3. Tangens deriváltja sin/cos hányadosából (cos²+sin²)/cos²=1/cos².
Fokban megadott változónál sin(πx/180) deriváltja (π/180)cos(πx/180), a láncszabály új tényezőt ad.
Kidolgozott példa
Deriváld 2cos(3x)−sin(x²)-et!
Különbség és konstansszoros szabálya.
Első tag −6sin(3x).
Második tag −2x cos(x²); f′=−6sin(3x)−2x cos(x²).
- A koszinusz deriváltja mínuszos.
- A belső derivált és tartomány maradjon meg.
Próbáld ki önállóan!
Polinom teljes vizsgálata, érintő és szélsőérték+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
f′>0 szakaszon a függvény nő, f′<0-nál csökken. f′=0 csak jelölt: szélsőértékhez előjelváltás vagy más indok kell. f″ előjele a hajlást vizsgálja. Zárt intervallum globális optimumához a végpontokat is számold.
Teljes köbös példa
x³−3x: D=ℝ, f′=3(x²−1). Nő ]−∞;−1]-n és [1;∞[-n, csökken [−1;1]-en.
Helyi maximum f(−1)=2, minimum f(1)=−2; globális nincs. f″=6x: konkáv a nempozitív, konvex a nemnegatív félegyenesen;(0;0) inflexió. Nullhelyek −√3,0,√3.
Érintő a=0-ban y=−3x.
Hamis következtetések és modell
x³-nél f′(0)=0, de két oldalon pozitív, nincs szélsőérték. x⁴-nél f″(0)=0, de mindkét oldalon konvex, nincs inflexió. Folyóparti téglalap három oldala 60 m: A=x(60−2x),0<x<30.
A′=60−4x; maximum x=15-nél 450 m², másik oldal 30 m.
Kidolgozott példa
Vizsgáld x³−3x²-t, és írd fel az x=1-beli érintőt!
f′=3x(x−2): nő 0-ig, csökken [0;2]-n, utána nő; helyi maximum 0, minimum −4.
f″=6x−6: konkáv x≤1-n, konvex x≥1-n; inflexió (1;−2).
f(1)=−2, f′(1)=−3; érintő y=−3x+1.
- Stacionárius pont nem automatikusan szélsőérték.
- A teljes megengedett tartományt vizsgáld.
Próbáld ki önállóan!
Hely, sebesség és megtett út: analízis fizikai modellben+
- A modellt, adatokat és feltételeket pontosan megadni.
- Önálló számítással, ábrával és szöveges indoklással értelmezni az eredményt.
Egyenes menti mozgásban s(t) előjeles helykoordináta, v(t)=s′(t) sebesség és a(t)=v′(t) gyorsulás. A sebesség előjele a mozgás irányát, abszolút értéke a sebesség nagyságát jelzi.
Az elmozdulás ∫v, a megtett út ∫|v|; megfordulásnál ezeket nem szabad felcserélni.
Teljes függvényvizsgálat
s(t)=t³−6t²+9t méter,t∈[0;5] másodperc. v=3(t−1)(t−3); pozitív[0;1[,negatív]1;3[,pozitív]3;5]. s növekszik0-ról4-re, csökken4-ről0-ra, majd nő0-ról20-ra. Lokális maximumt=1,minimummat=3; zárt teljes tartományon maximum20 t=5-nél,minimum0 t=0 és3-nál. a=6t−12; a gyorsulás0 t=2-nél, ahol v=−3,tehát a mozgás nem áll.
Integrál és fizikai egység
∫₀⁵v dt=s(5)−s(0)=20 m az elmozdulás. Megtett út a három irányszakasz helyváltozásának abszolút összege4+4+20=28 m.
Ugyanez ∫₀¹v−∫₁³v+∫₃⁵v. t=2-nél hely2 m,v=−3 m/s,a=0 m/s²; átlagsebesség0–5 közt20/5=4 m/s,átlagos sebességnagyság28/5=5,6 m/s. A polinom csak a kijelölt0–5 időtartomány modellje.
Kidolgozott példa
A megadott s(t) modellben mikor fordul meg a mozgás, és mennyi az elmozdulás és út0–5 között?
v=3(t−1)(t−3), zérus1 és3; mindkettőben előjelet vált, tehát irányfordulás.
s(0)=0,s(1)=4,s(3)=0,s(5)=20. Elmozdulás20 m.
Út|4−0|+|0−4|+|20−0|=28 m; a28 hossz, a20 előjeles helyváltozás.
- Nulla gyorsulás nem jelent nulla sebességet.
- Előjeles integrálból nem mindig a megtett út adódik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Keresd f(x) = x² − 4x + 7 legkisebb értékét a [0; 5] intervallumon!
f′(x) = 2x − 4, így a belső jelölt x = 2. Balra negatív, jobbra pozitív a derivált.
f(2) = 3; a végpontokban f(0) = 7 és f(5) = 12.
A legkisebb érték 3, helye x = 2. A legnagyobb érték ezen az intervallumon 12, helye x = 5.
Emelt szinten menj tovább!
A derivált előjeléből következtetsz a változásra, nem a derivált értékének nagyságából. Az f′(x₀) = 0 belső szélsőérték szükséges feltétele deriválható függvénynél, de nem elégséges.
Vizsgáld az előjelváltást: pozitívból negatívba maximum, negatívból pozitívba minimum következhet. Az érintő egyenlete y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Elég-e f′(x) = 0 alapján kijelenteni, hogy ott minimum van?
Megoldás és magyarázat
Nem. A derivált előjelét vagy más megfelelő feltételt is vizsgálni kell; zárt intervallumon a végpontokat is ellenőrizzük.
2. kérdés
Az f(x) = x² − 4x függvény hol csökken és hol nő?
Megoldás és magyarázat
f′(x) = 2x − 4. x < 2 esetén negatív, ezért csökken; x > 2 esetén pozitív, ezért nő. x = 2-ben minimuma van, értéke −4.
3. kérdés
Írd fel az f(x) = x² érintőjét x₀ = 2-ben!
Megoldás és magyarázat
f(2) = 4, f′(x) = 2x, ezért f′(2) = 4. Az érintő y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
Áthalad a (2; 4) ponton és meredeksége 4.