Integrálszámítás
A primitív függvény keresését és az előjeles terület számítását külön értelmezzük, majd összekapcsoljuk a két feladatot.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (4) →
Alapfogalmak, példákkal
Primitív függvény
Az F az f primitív függvénye egy intervallumon, ha F deriváltja ott f. Ugyanannak az f-nek konstanssal eltérő primitív függvényei is vannak.
f(x) = 2x primitív függvénye x² + C, mert a konstans deriváltja nulla.
Határozott integrál
Az intervallumon vett integrál folytonos függvénynél a függvény és az x tengely közötti előjeles területként értelmezhető. A tengely alatti rész negatívan járul hozzá.
Az x függvény integrálja −1-től 1-ig nulla; a két oldal előjeles területe kioltja egymást.
Geometriai terület
A geometriai terület nemnegatív. Előjelváltásnál külön számoljuk a részintervallumokat, és a kapott előjeles területek abszolút értékét adjuk össze.
Az y = x és az x tengely közötti terület −1-től 1-ig 1, bár a határozott integrál nulla.
A lecke végére: Megkülönbözteted a primitív függvényt, a határozott integrált és a geometriai területet.
Értsd meg az összefüggést!
Primitív függvény keresésekor olyan F-et keresünk, amelynek deriváltja az adott f. A primitív függvények egy konstansban különbözhetnek, mert a konstans deriváltja nulla.
Ezért határozatlan integrálnál a + C jelölésnek tartalmi szerepe van.
Határozott integrálnál a két határ között összegződő előjeles mennyiséget számítjuk. Folytonos függvénynél a Newton–Leibniz-képlet F(b) − F(a).
A határok sorrendje számít: felcserélésük előjelet változtat.
A tengely alatti rész negatívan járul hozzá az integrálhoz, a geometriai terület azonban nem negatív. Ha a függvény előjelet vált, területhez a zérushelyeknél szét kell bontani az intervallumot és az egyes részek területét összeadni.
Egy rajz segít előre ellenőrizni az eredmény jelentését.
Nézzük meg egy példán!
A határozott integrál mint terület
A legfontosabb szabályok
- Határozatlan integrálnál ne felejtsd el a +C konstanst.
- Területhez vizsgáld, hol negatív a függvény, és szükség esetén bontsd fel az intervallumot.
- Helyettesítésnél a differenciált is alakítsd át.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: ∫₀²(2x+1)dx.
1. Primitív függvény: F(x)=x²+x, mert F′(x)=2x+1.
2. A két határnál F(2)=6 és F(0)=0.
3. Az integrál 6−0=6.
A függvény itt pozitív, ezért ez a görbe alatti terület is.
Részletes magyarázatok és példák
01Primitív függvény+
Primitív függvényt a deriválás megfordításával keresünk. A 2x-hez x² megfelelő, mert (x²)′=2x.
Az x²+7 is megfelelő, mert a konstans deriváltja nulla. Az eredményt mindig visszaderiválással ellenőrizheted.
02Határozatlan integrál és a +C+
∫xⁿ dx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠−1, ahol a hatvány értelmezett; ∫1/x dx=ln|x|+C nullát nem tartalmazó intervallumon. A C tetszőleges állandó.
Összeget tagonként integrálunk, állandó szorzó kiemelhető: ∫(2x+3)dx=x²+3x+C.
03Határozott integrál+
Folytonos f esetén, ha F′=f, akkor ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Előbb megkeressük F-et, majd a felső határnál vett értékből kivonjuk az alsónál vettet.
A +C kiesik: (F(b)+C)−(F(a)+C).
04Előjeles és geometriai terület+
A tengely feletti rész pozitív, az alatta fekvő negatív előjellel számít az integrálba. Az a < b határok közötti geometriai terület a nemnegatív részek összege: ∫ₐᵇ|f(x)|dx.
Például ∫₋₁¹x dx=0, de a két derékszögű háromszög területe összesen 1.
05Egyszerű helyettesítéses integrálás+
Helyettesítésnél az összetett belső kifejezést új változónak választjuk, és a differenciált is átalakítjuk. ∫2x(x²+1)³dx esetén u=x²+1, du=2x dx, így ∫u³du=u⁴/4+C=(x²+1)⁴/4+C. Határozott integrálnál a határokat is váltsd át, vagy a végén térj vissza x-re.
Lépésről lépésre, részletesen
Primitív függvény, határozott integrál és terület+
- Integrált primitív függvénnyel számítani.
- Előjeles integrált és geometriai területet elkülöníteni.
F primitív függvénye f-nek egy intervallumon, ha F′=f. A primitív függvények állandóban térnek el.
A határozott integrál a felosztásokhoz tartozó összeg határértéke; folytonos f-re Newton–Leibniz: ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a).
Alapképletek és ellenőrzés
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C ha n≠−1; ∫cos x dx=sin x+C; ∫sin x dx=−cos x+C. Polinomot tagonként integrálunk.
A primitív függvényt deriválással ellenőrizzük. Állandószorzó kiemelhető, de szorzat integrálja nem a két integrál szorzata.
Terület
A határozott integrál x tengely felett pozitív, alatta negatív hozzájárulást ad. Geometriai területhez nullhelyeknél fel kell bontani az intervallumot és az előjeles részek abszolút értékét összeadni.
Két grafikon között ∫(felső−alsó), szükség esetén metszéspontoknál szétbontva.
Kidolgozott példa
Számítsd ki az y=x és az x tengely közötti területet [−1;2]-n!
Az x nullhelyénél két részre bontunk.
Primitív függvény F=x²/2. ∫₋₁⁰x dx=−1/2, ∫₀²x dx=2.
Terület 1/2+2=5/2 egység². Az egyben vett előjeles integrál 3/2 lenne.
- Területfeladatban a negatív integrálrészek nem csökkentik a geometriai területet.
Próbáld ki önállóan!
Kétoldali területközelítés, integrálfüggvény és összetett terület+
- A definícióból és az adatokból kiindulni.
- Minden esetet, a határokat és a mértékegységet ellenőrizni.
Nemnegatív folytonos függvény grafikonja alatti területet az intervallum felosztásának téglalapjai alulról és felülről közelítik. Egyre finomabb felosztásnál a két összeg közös határértéke a határozott integrál.
Előjelet váltó függvénynél a tengely alatti részek negatív hozzájárulást adnak.
Integrál és Newton–Leibniz
Folytonos f-re I(x)=∫ₐˣf(t)dt az integrálfüggvény, és I′(x)=f(x). Ha F′=f, akkor ∫ₐᵇf=F(b)−F(a).
A határozott integrál additív az intervallumokra, lineáris a függvényekben; a határok felcserélése előjelet vált. x növekvő függvénynél [0;1]-en n egyenlő részhez alsó összeg (n−1)/(2n), felső összeg (n+1)/(2n); mindkettő 1/2-hez tart.
Két grafikon között
A f és g közötti terület ∫|f−g|; a metszéspontoknál részekre bontjuk, és minden részen a felsőből az alsót vonjuk ki. y=x és y=x² a [0;1]-en x−x² különbséget adnak, terület 1/2−1/3=1/6. A cos x előjele [0;π]-n π/2-nél vált: az előjeles integrál 0, de a geometriai terület ∫₀^(π/2)cos x−∫_(π/2)^π cos x=2.
Nem lehet a nulla integrálból nulla területre következtetni.
Kidolgozott példa
Számítsd ki x²−1 és az x tengely közötti területet [−2;2]-n!
Nullhelyek ±1; a külső részek pozitívak, a belső rész negatív. A függvény páros, ezért elég a jobb fél, majd kétszerezés.
F=x³/3−x. Terület a jobb félen −(F(1)−F(0))+(F(2)−F(1))=2/3+4/3=2.
Teljes terület 4. Az előjeles integrál ezzel szemben 4/3, tehát az abszolút értékes részek összegzése szükséges.
- A használt tétel feltételeit nevezd meg.
- A mintából csak az indokolt tartományra következtess.
Próbáld ki önállóan!
Határozott integrál: kétoldali közelítés és integrálfüggvény+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Folytonos f-re [a; b]-n az alsó összeg részenkénti minimummal, a felső maximummal képzett téglalapösszeg. Finomodó felosztásokkal közös határértékük a határozott integrál.
Előjeles összeg: negatív érték negatív hozzájárulást ad.
![Az x függvény alatt négy bal oldali és négy jobb oldali téglalap a [0;1] intervallumon. Területösszegek 3/8 és 5/8, pontos integrál 1/2.](/tanulas-assets/requirement-figures/integral-ketoldali.svg)
Kétoldali közelítés
f=x [0;1]-en, n egyenlő rész,Δx=1/n. Növekvő f miatt bal végpontból Lₙ=(0+1+…+n−1)/n²=(n−1)/(2n); jobb végpontból Uₙ=(1+…+n)/n²=(n+1)/(2n).
Lₙ≤∫₀¹x dx≤Uₙ, eltérés 1/n→0, mindkettő 1/2-höz tart. n=4-nél 3/8 és 5/8.
Tulajdonságok
∫ₐₐf=0,∫ᵦₐf=−∫ₐᵦf,∫ₐᶜf+∫ᶜᵦf=∫ₐᵦf. ∫(cf+dg)=c∫f+d∫g. f≤g esetén ∫f≤∫g, a≤b mellett; m≤f≤M-ből m(b−a)≤∫f≤M(b−a).
Integrálfüggvény és primitív
Rögzített a mellett I(x)=∫ₐˣf(t)dt. Folytonos f-re I′=f, tehát I primitív.
Bármely primitív F-re Newton–Leibniz:∫ₐᵦf=F(b)−F(a). f=x, a=1 esetén I=(x²−1)/2, I(1)=0. A primitívek ugyanazon intervallumon állandóban térnek el.
Kidolgozott példa
Közelítsd ∫₀²x dx-t négy rész alsó/felső összegével, majd számíts pontosan!
Δx=1/2, alsó magasságok 0,1/2,1,3/2: L=3/2.
Felső magasságok 1/2,1,3/2,2: U=5/2.
Pontos [x²/2]₀²=2, a két közelítés között.
- Alsó összeg minimumon alapul, nem mindig bal végponton.
- Az integrálfüggvény alsó határát ne hagyd el.
Próbáld ki önállóan!
Polinom és trigonometrikus görbe geometriai területe+
- A definíció feltételeit és a megengedett tartományt rögzíteni.
- Önálló megoldást adni és az eredményt ellenőrizni.
Geometriai terület ∫ₐᵦ|f(x)|dx; a nullhelyeknél és előjelváltásoknál bontunk. Az előjeles integrál pozitív/negatív részei kiolthatják egymást.
Két görbe között felső mínusz alsó, szükség esetén metszéspontnál új sorrenddel.
Primitív és polinom
xᵏ primitívje xᵏ⁺¹/(k+1), k nemnegatív egész; sin x-é −cos x, cos x-é sin x, radiánban. Deriválással visszaellenőrizzük. ∫₀²(x²+1)dx=14/3, pozitív függvény, terület is. x²−1 [−2;2]-n: F=x³/3−x.
Külső részek egyenként 4/3, belső −4/3; terület 4, előjeles integrál 4/3.
Trigonometria és két görbe
sin x [0;2π]-n előjelesen 0, terület 2+2=4. cos x [0;π]-n előjelesen 0, terület 1+1=2,π/2-nél bontva. x és x² [0;1]-n: x≥x², terület ∫(x−x²)=1/6.
Kidolgozott példa
Számítsd sin x és az x tengely közti területet [−π/2;π]-n!
Szinusz negatív 0-ig, majd pozitív π-ig.
Az első előjeles rész −1, a második 2.
Terület 3; az egyben vett előjeles integrál 1.
- A geometriai területek nem oltják ki egymást.
- Két görbe sorrendjét részintervallumonként ellenőrizd.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Számítsd ki az f(x) = x függvény határozott integrálját és a grafikon alatti geometriai területet [−1; 1]-en!
Primitív függvény F(x) = x²/2. Az integrál F(1) − F(−1) = 1/2 − 1/2 = 0.
A függvény nullánál előjelet vált. Két fél egységnyi területű háromszög van a két oldalon.
A geometriai terület 1/2 + 1/2 = 1. Az integrál nullája az előjeles részek kiegyenlítődését jelenti.
Emelt szinten menj tovább!
A Newton–Leibniz-formula folytonos f és hozzá tartozó F primitív függvény esetén az integrált F(b) − F(a) alakban adja. Két grafikon közötti területnél előbb keresd meg a metszéspontokat, majd intervallumonként döntsd el, melyik függvény van felül.
A különbség integrálja csak helyes sorrendben ad geometriai területet.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mi a 2x primitív függvénye?
Megoldás és magyarázat
x² + C. Ellenőrzés: ennek deriváltja 2x bármely konstans C esetén.
2. kérdés
Mennyi a 2x függvény integrálja 0-tól 3-ig?
Megoldás és magyarázat
Az x² primitív függvényből 3² − 0² = 9. Ezen az intervallumon a függvény nemnegatív, ezért a geometriai terület is 9.
3. kérdés
Mennyi az y = x és y = x² közötti terület 0 és 1 között?
Megoldás és magyarázat
A metszéspontok x = 0 és x = 1. Közöttük x ≥ x², ezért az integrálandó különbség x − x².
Primitív függvénye x²/2 − x³/3; a terület 1/2 − 1/3 = 1/6.