Geometria
Megkülönböztetjük a lapos és térbeli alakzatokat, majd körbejárással és lefedéssel értjük meg a kerületet és területet.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Síkidom és test
A négyzetet a papír síkjában rajzoljuk. A kocka térbeli test, több oldalról is megnézhetjük.
A kocka egy lapja négyzet. A kocka és a négyzet nem ugyanaz az alakzat.
Kerület
A kerület a síkidom körüli út hossza. Az oldalakat körben összeadjuk.
Egy 4 cm és 2 cm oldalú téglalapot körbejárva 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm-t teszünk meg.
Terület
A területet a belső rész lefedésével mérjük. Négyzetrácson megszámolhatjuk az egyforma kis négyzeteket.
Két sorban négy-négy egységnégyzet összesen 8 egységnégyzetet fed le.
A lecke végére: Rajzzal megkülönbözteted a kerületet és a területet, és gondolkodsz a térbeli alakzatokról.
Értsd meg az összefüggést!
A kerület az alakzat körbejárásának hossza. A terület azt mondja meg, mekkora felületet fed le.
Egy kerítéshez kerületet, egy padló burkolásához területet számolunk. Ugyanannak a téglalapnak mindkét adata kiszámítható, de különböző kérdésre válaszolnak.
A téglalap területképletét egységnégyzetekkel is megértheted: ha egy sorban hat kis négyzet van és négy sor készül, összesen 6 · 4 négyzetet számolunk. A kerületnél két hosszú és két rövid oldalt adunk össze.
Térbeli feladatnál gondold végig, mely részek látszanak, és melyek takarásban vannak. Egy test hálóján a lapok nem tetszőlegesen kapcsolódnak: összehajtva ugyanazt a testet kell létrehozniuk.
A szép rajz helyett az adatok és a kapcsolatok pontos jelölése számít.
Nézzük meg egy példán!
Kerület és terület ugyanazon az ábrán
A legfontosabb szabályok
- Különítsd el a síkidomot és a testet.
- Kerülethez a határt járd körbe.
- Területhez a belső egységnégyzeteket számold.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: egy téglalap oldalai 4 cm és 2 cm.
1. Körbejárva 4+2+4+2 = 12 cm a kerület.
2. A belsejében két sorban négy-négy egységnégyzet van: 8 cm² a terület.
3. A cm és cm² két különféle mennyiséget jelez.
Részletes magyarázatok és példák
01Síkidom és test+
Négyzetet és téglalapot a síkban rajzolunk, a kockát és téglatestet térbeli tárgyként képzeljük el. A kocka lapjai négyzetek.
A kör nem gömb: az egyik síkbeli, a másik térbeli alakzat.
02Oldalak és csúcsok+
A sokszög oldalai szakaszok, találkozásuk csúcs. A háromszögnek három oldala és három csúcsa van.
A téglalap szemközti oldalai egyenlők; a négyzet minden oldala egyenlő. Az elfordítás nem változtatja meg az alakzat fajtáját.
03Kerület+
A kerületet a határoló oldalak összeadásával kapod. Egy 5 cm és 3 cm oldalú téglalap kerülete 5+3+5+3 = 16 cm.
Négyzetnél négyszer ugyanazt az oldalt adjuk össze.
04Terület négyzetrácson+
Egységnyi négyzetrácson számold meg a lefedett teljes négyzeteket. A 4 sorból és soronként 3 négyzetből álló téglalap területe 12 egységnégyzet.
A területet nem a körvonalon lévő szakaszok számával mérjük.
05Szimmetria és testháló+
Tengelyesen szimmetrikus alakzat két fele a tengely mentén egymásra hajtható. A testháló a test felületének síkba terített lapjaiból áll.
Kockahálónál hat négyzet kell, de nem minden hat négyzetből álló elrendezés hajtható kockává.
Lépésről lépésre, részletesen
Kerület, terület, tükrözés és testek+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A kerület a határvonal hossza, a terület a lefedhető síkrész nagysága. Egy alakzat átrendezése megőrizheti a területet, miközben kerülete változik.
A négyzethálós lefedésben teljes és kiegészíthető résznégyzeteket számolunk.
Sík és szimmetria
Téglalap kerületéhez a négy oldal hosszát összeadjuk: két hosszú és két rövid oldal. Területét hézagmentesen lefedő egységnégyzetekkel mérjük: 5 sorban 3-3 négyzet 15 négyzetegység.
Tengelyes tükrözésben a megfelelő pontok a tengely két oldalán azonos távolságban vannak. Rajzold be a hálón a tükörpontot, majd ellenőrizd visszahajtással vagy számolással.
Test, háló és nézet
Kockának 6 négyzetlapja, 12 éle és 8 csúcsa van. Téglatest lapjai téglalapok.
Hálóból hajtogatva ellenőrizd, fedik-e egymást lapok. A nézet egy irányból mutatja a testet; eltakart kocka is lehet benne.
Számoláskor jelöld, mely kockát vetted már figyelembe.
Kidolgozott példa
Egy 5×3 négyzetből álló téglalap kerülete és területe?
Az oldalakon 5,3,5,3 egységet számolunk.
Kerület 5+3+5+3=16 hosszegység.
A három sorban soronként 5 négyzet van: 15 négyzetegység a terület.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy téglalap oldalai 6 cm és 4 cm. Ugyanekkora kerületű lehet-e egy négyzet?
A téglalap kerülete 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm; területe 6 · 4 = 24 cm².
A négyzet négy egyforma oldalának összege 20 cm, így egy oldala 20 : 4 = 5 cm.
A négyzet területe 5 · 5 = 25 cm². Tehát azonos kerület mellett a terület különbözhet.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Ha egy téglalap mindkét oldalát megkétszerezzük, hogyan változik a területe?
Megoldás és magyarázat
Négyszeres lesz, mert kétszer annyi egységnégyzet fér egy sorba és kétszer annyi sor készül.
2. kérdés
Egy 3 cm oldalú négyzet kerülete 9 cm?
Megoldás és magyarázat
Nem. Négy oldala van, ezért 3 + 3 + 3 + 3 = 12 cm.
A 9 cm² a területe lenne.