Geometria
Az ábrán előbb megnevezzük az alakzatot és a keresett mennyiséget; ezután választunk hozzá megfelelő összefüggést.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (2) →
Alapfogalmak, példákkal
Síkidom és test
A síkidom a síkban helyezkedik el, a test térbeli alakzat. A testet síkbeli lapok vagy görbült felület határolhatja.
A négyzet síkidom, a kocka test; a kockának hat négyzetlapja van.
Kerület és terület
A kerület az alakzat határvonalának hossza. A terület a lefedett síkrész nagyságát méri.
A kettő különböző mennyiség.
Egy 6 cm és 4 cm oldalú téglalap kerülete 20 cm, területe 24 cm².
Felszín és térfogat
A felszín a test határoló felületének területe, a térfogat a test által elfoglalt tér mértéke.
Egy 2 cm élű kocka felszíne 6 · 4 = 24 cm², térfogata 2 · 2 · 2 = 8 cm³.
A lecke végére: A sík- és térgeometriai képleteket az ábra és a feltételek alapján választod ki.
Értsd meg az összefüggést!
A geometriai ábra a kapcsolatokat mutatja; a szemre mért arányok önmagukban nem bizonyítékok. Először jelöld az ismert hosszakat, a keresett mennyiséget és a merőlegességet.
Pitagorasz tétele csak derékszögű háromszögre alkalmazható, és az átfogó mindig a derékszöggel szemközti oldal.
Összetett alakzatnál gondold végig a felbontást. Területnél részeket összeadhatsz vagy kivonhatsz.
Kerületnél viszont csak a tényleges külső határvonalat számolod: a felbontás közös belső szakaszai nem tartoznak hozzá.
Térbeli testnél külön kérdés a felszín és a térfogat. Előbbi a határoló lapok területe, utóbbi a test által elfoglalt tér.
A hosszakat közös egységre hozd, és a válasz egységét a számolt mennyiséghez igazítsd.
Nézzük meg egy példán!
Egy derékszögű háromszög adatai
A legfontosabb szabályok
- A kerület hosszúság, a terület négyzetes mértékegység.
- A képletbe azonos mértékegységű adatokat helyettesíts.
- A rajz lehet vázlatos, de az oldalak, szögek és merőlegesség jelölése legyen egyértelmű.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 6 cm és 4 cm oldalú téglalap kerülete és területe.
1. Kerülethez körbejárjuk az oldalakat: 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm.
2. Területhez a két szomszédos oldal hosszát szorozzuk: 6 · 4 = 24 cm².
3. Az eltérő egység jelzi: két különböző mennyiséget számoltunk.
Részletes magyarázatok és példák
01Síkidomok, testek és tulajdonságaik+
A háromszögnek három, a négyszögnek négy oldala van. A téglalap négy szöge derékszög, a négyzet ráadásul egyenlő oldalú.
A téglatestet hat téglalap határolja; a kocka élei egyenlők. Egy síkbeli négyzetet ne nevezz kockának.
02Kerület, terület és térfogat+
Téglalap: K = 2(a+b), T = ab. Háromszög: T = a·mₐ/2, ahol mₐ az a oldalhoz merőleges magasság.
Téglatest: V = abc, felszíne 2(ab+ac+bc). A 3 cm × 4 cm × 5 cm-es test térfogata 60 cm³, felszíne 94 cm².
03Szögek és szögösszegek+
A derékszög 90°, az egyenesszög 180°, a teljes szög 360°. A háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért 50° és 60° mellett a harmadik 70°.
A szöget szögmérővel mérjük; a rajzon megadott jelölés fontosabb a látszólagos alaknál.
04Szimmetria és geometriai transzformációk+
Tengelyes tükrözésnél a pont és a képe azonos távolságra van a tengelytől, és összekötő szakaszuk merőleges rá. Eltolásnál minden pont ugyanannyival és ugyanabba az irányba mozdul.
Ezek a mozgások megőrzik a hosszúságot és a szögeket.
05Ábraértelmezés és összetett alakzatok+
Összetett síkidomnál bontsd fel a területet ismert részekre. Egy 8 × 5 cm-es téglalapból kivágott 2 × 2 cm-es saroknégyzet után 40 − 4 = 36 cm² marad.
Kerülethez viszont a megmaradó határ minden szakaszát kell számolni, nem a területet kivonni.
06Pitagorasz-tétel és kör a 8. osztályos felkészülésben+
Derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege az átfogó négyzete: a²+b²=c². A 3 és 4 hosszúságú befogókhoz 5 hosszúságú átfogó tartozik.
A kör sugara a középponttól a körvonalig mért távolság; átmérője 2r, kerülete 2πr, területe πr². Ezeket csak a megfelelő alakzatnál alkalmazd.
A 2 cm sugarú kör területe 4π cm².
Lépésről lépésre, részletesen
Mérés, mértékegység és időtartam+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A mérőszám és egység együtt ad mennyiséget. Kisebb egységből ugyanahhoz a mennyiséghez több kell.
Művelet előtt azonos egységre váltunk; az eredmény nagyságát hétköznapi becsléssel is ellenőrizzük.
Kapcsolatok
1 m=100 cm, 1 km=1000 m, 1 kg=1000 g, 1 l=10 dl. 1 óra=60 perc, 1 perc=60 másodperc. Területnél és térfogatnál nem a hossz szorzója érvényes: 1 m²=10 000 cm², 1 dm³=1000 cm³=1 liter.
Az utóbbiakat felsőbb évfolyamon külön gyakoroljuk.
Összetett mérés
2 m 35 cm=235 cm. 1 óra 45 perc=105 perc. Az időpont és időtartam különbözik: 8:50-től 10:15-ig 1 óra 25 perc telik el.
Alkalmi egységnél ugyanazt az egységet és hézagmentes lefedést használjuk.
Kidolgozott példa
Egy szalag 3 m 20 cm hosszú. Levágunk 85 cm-t.
Mennyi marad?
Egységesen centiméter: 320 cm.
320−85=235 cm.
Ez 2 m 35 cm; a maradék kisebb az eredetinél.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Háromszög, térszemlélet, felszín és térfogat+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Háromszög oldal szerint egyenlő oldalú, egyenlő szárú vagy különböző oldalú, szög szerint hegyes-, derék- vagy tompaszögű lehet. Szögösszege 180°.
Két oldal összege nagyobb a harmadiknál; ez a szerkeszthetőség feltétele.
Síkbeli számítás
Téglalap és négyzet területéből darabolással összetett terület számolható. A nyolcadikos képletek: háromszög am/2, paralelogramma am, trapéz (a+c)m/2, deltoid ef/2 merőleges átlókkal.
Szimmetria és egybevágóság őrzi a hosszakat és szögeket; középpontos tükrözés 180°-os forgatásnak felel meg a síkban.
Test
Téglatest felszíne 2(ab+ac+bc), térfogata abc; kockánál 6a² és a³. Hálóban azonosítjuk a szomszédos és szemközti lapokat; nézetből a rejtett rész nem mindig határozható meg egyértelműen.
Két azonos nézetű test lehet eltérő, ezért a megadott összes feltételt használd.
Kidolgozott példa
Téglatest élei 2,3,4 cm. Mennyi a térfogata és felszíne?
V=2·3·4=24 cm³.
A háromféle lapterület 6,8,12 cm², mindegyik kétszer szerepel.
A=2(6+8+12)=52 cm².
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. Mennyi az átfogó, a kerület és a terület?
Az átfogó négyzete 6² + 8² = 36 + 64 = 100, ezért az átfogó 10 cm.
A kerület 6 + 8 + 10 = 24 cm.
A befogók merőlegesek, ezért alap és magasság lehetnek: T = 6 · 8/2 = 24 cm². A kerület és a terület számértéke itt azonos, egységük különböző.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Használható-e ugyanígy a 6² + 8², ha a közbezárt szög nem derékszög?
Megoldás és magyarázat
Nem. Pitagorasz tétele megköveteli a derékszöget; a feltétel nélkül ebből nem számolható ki a harmadik oldal.
2. kérdés
Miért nem hasonlítható össze közvetlenül egy 20 cm-es kerület és egy 20 cm²-es terület?
Megoldás és magyarázat
Másféle mennyiséget és más egységet jelölnek. Az azonos mérőszám nem jelent azonos geometriai tulajdonságot.