Számok és műveletek
A helyi értéket, az egész számokat és a műveleti sorrendet együtt használjuk, majd becsléssel és fordított művelettel ellenőrzünk.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Szám és számjegy
A szám mennyiséget jelöl. A számjegyek a szám leírására használt jelek; a helyi érték mondja meg, mennyit ér egy számjegy az adott helyen.
A 307-ben a 3 három százast ér, a 0 jelzi, hogy nincs tízes, a 7 hét egyest jelent.
Ellentett és abszolút érték
Az ellentett a számegyenesen a nulla másik oldalán, ugyanakkora távolságra áll. Az abszolút érték a nullától mért távolság, ezért nemnegatív.
A −6 ellentettje 6, abszolút értéke is 6. A 6 ellentettje −6, abszolút értéke 6.
Műveleti sorrend
Először a zárójelet számoljuk ki, majd szorzunk és osztunk, végül összeadunk és kivonunk. Az egyenrangú műveleteket balról jobbra végezzük.
24 : 4 · 2 = 12, mert előbb 24 : 4 = 6, majd 6 · 2 = 12.
A lecke végére: Biztonságosan számolsz előjeles számokkal, és indokolni tudod a műveleti sorrendet.
Értsd meg az összefüggést!
Az előjeles számokhoz a számegyenes ad biztos kapaszkodót. A nullától jobbra pozitív, balra negatív számok állnak; a jobbra fekvő szám mindig nagyobb.
Így −2 nagyobb −7-nél, bár a 7 önmagában nagyobb a 2-nél. Az összeadásnál a hozzáadott szám előjele dönti el az elmozdulás irányát.
A kivonást az ellentett hozzáadásaként is értelmezheted: 5 − (−3) = 5 + 3. A két mínuszjel szerepe különböző: az egyik művelet, a másik előjel.
Zárójel nélkül könnyű ezeket összekeverni.
Szorzásnál és osztásnál az azonos előjel pozitív, a különböző előjel negatív eredményt ad. Összeadásra ezt a szabályt nem használhatod: két negatív szám összege negatív.
A számolás végén mindig ellenőrizd az eredmény előjelét és nagyságát.
Nézzük meg egy példán!
Negatív szám és zárójel
- Feladat
−8 + 3 × (−2)
- Szorzás
3 × (−2) = −6
- Összeadás
−8 + (−6) = −14
A legfontosabb szabályok
- Írásbeli műveletnél rendezd egymás alá a helyi értékeket.
- Negatív előjel és kivonás előtt mindig nézd meg, mi tartozik össze.
- Becsléssel ellenőrizd, hogy az eredmény nagyságrendje reális-e.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 120 − 3 · (18 + 7).
1. A zárójel értéke 18 + 7 = 25.
2. A szorzás 3 · 25 = 75.
3. A kivonás 120 − 75 = 45.
Ellenőrzés: a levont 75 és a maradék 45 összege 120.
Részletes magyarázatok és példák
01Helyi érték, kerekítés és becslés+
A helyi érték azt mutatja meg, hogy a számjegy egyeseket, tízeseket, százasokat vagy más egységeket jelent. A 352-ben az 5 értéke 50.
Tízesre kerekítéskor a két szomszédos tízes közül a közelebbit választjuk; 357 így 360. Pontosan félúton felfelé kerekítünk.
02A négy alapművelet és írásbeli eljárásaik+
Összeadáskor azonos helyi értékeket adunk össze, tíz egyesből egy tízest képezve. Kivonáskor szükség esetén felváltunk egy nagyobb egységet.
Szorzásnál minden tényezőt figyelembe veszünk; osztást visszaszorzással ellenőrzünk: 84 : 7 = 12, mert 12 · 7 = 84.
03Műveleti sorrend és zárójelek+
A zárójelben álló műveletet előbb végezzük el. Ezután a hatványozás, majd szorzás és osztás, végül összeadás és kivonás következik; azonos rangnál balról jobbra haladunk.
A 18 − 6 : 3 értéke 16, a (18 − 6) : 3 értéke 4.
04Negatív számok és előjelek+
A negatív szám a számegyenesen a nullától balra helyezkedik el. A −5 kisebb, mint a −2.
Összeadásnál jobbra, kivonásnál balra léphetsz pozitív számmal: −3 + 5 = 2. A −(−4) = 4, mert az ellentett ellentettjét vesszük.
05Osztók, többszörösök és maradék+
Az osztó maradék nélkül osztja a számot: 4 osztója a 20-nak. A 20 egyben 4 többszöröse.
Maradékos osztásnál osztandó = osztó · hányados + maradék; pozitív egész osztónál 0 ≤ maradék < osztó. Például 23 = 5 · 4 + 3.
Lépésről lépésre, részletesen
Helyi érték, kerekítés és műveleti sorrend+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Tízes számrendszerben a számjegy alaki értéke önmaga, helyi értéke a helye, valódi értéke a kettő szorzata. 4307-ben a 3 valódi értéke 300. Az írásbeli műveletben azonos helyi értékeket egymás alá írunk.
Kerekítés és becslés
Kerekítéskor a megtartandó helytől jobbra álló jegy dönt: 0–4 lefelé, 5–9 felfelé. 4682 százasra 4700, ezresre 5000. Számszomszédot az adott egység szerint keress.
Szorzás előtt nagyságrendi becslés, osztás után visszaszorzás segít.
Műveletsor és hiányzó adat
Először zárójel, utána szorzás és osztás balról jobbra, végül összeadás és kivonás balról jobbra. Hiányzó műveletet visszafelé, az ellentétes művelettel oldj.
Maradékos osztásnál osztandó=osztó·hányados+maradék, a maradék kisebb az osztónál.
Kidolgozott példa
Számítsd ki 36−4·(3+2)-t!
Zárójel: 3+2=5.
Szorzás: 4·5=20.
Kivonás: 36−20=16.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Számítsd ki: 18 − 3 · (4 − 7)!
A zárójelben 4 − 7 = −3. A kifejezés így 18 − 3 · (−3).
A szorzat 3 · (−3) = −9. Ezt kivonjuk: 18 − (−9) = 18 + 9 = 27.
Ellenőrzés: negatív mennyiség kivonása növeli a számot, ezért a 27 nagyobb 18-nál.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mennyi −4 + (−6), és mennyi (−4) · (−6)?
Megoldás és magyarázat
Az összeg −10, a szorzat 24. Az előjelek szorzási szabálya nem az összeadás szabálya.
2. kérdés
Mennyi −3 + 8, és hol van az eredmény a számegyenesen?
Megoldás és magyarázat
5. A −3-tól nyolc egységet jobbra lépünk, így a nulla jobb oldalán, az 5-höz jutunk.