Törtek és tizedes törtek
Először ugyanakkora részekben gondolkodunk; ebből értjük meg a törtek összehasonlítását és a törtműveleteket.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (2) →
Alapfogalmak, példákkal
Tört, számláló és nevező
Az a/b tört az a és b hányadosa, b nem lehet nulla. Egy egész részeinek szemléltetésében a pozitív nevező a felosztást, a számláló a kiválasztott részek számát jelöli.
A 3/4 három negyedet jelent. A 5/4 öt negyed, tehát nagyobb egynél.
Egyenértékű alak és közös nevező
Bővítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk. Közös nevezővel a törteket azonos méretű részekben írjuk le.
1/2 = 2/4, ezért 1/2 + 1/4 = 3/4.
Tizedes tört
A tizedes alak a tízes helyiérték-rendszerrel írja le a számot. A tizedesvessző utáni helyeken tizedek, századok, ezredek állnak.
0,375 = 375/1000 = 3/8. Az 1/3 tizedes alakja végtelen szakaszos; 0,33 csak közelítés.
A lecke végére: Törteket közös részméretre alakítasz, és természetes számmal végzel műveleteket.
Értsd meg az összefüggést!
A nevező egy rész méretét jelöli. A fél és a negyed különböző méretű részek, ezért összeadás előtt ugyanakkora részekkel számolunk: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.
Bővítéskor ugyanazt a mennyiséget több, kisebb részben írjuk le; egyszerűsítéskor kevesebb, nagyobb részben.
Természetes számmal szorozva több ugyanolyan törtet veszünk: 3 · 2/5 = 6/5. Természetes számmal osztva az adott mennyiséget egyenlő részekre osztjuk: 3/4 : 3 = 1/4.
A művelet jelentését rajzzal vagy szakaszokkal is ellenőrizheted.
A tizedes tört ugyanennek másik alakja: 0,25 = 25/100 = 1/4. Összeadáskor az azonos helyi értékek kerüljenek egymás alá.
A kerekített és a pontos értéket különböztesd meg: az 1/3 például csak megközelítőleg 0,33.
Nézzük meg egy példán!
Ugyanaz a mennyiség több alakban
| Tört | Tizedes tört | Százalék |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50% |
| 1/4 | 0,25 | 25% |
| 3/4 | 0,75 | 75% |
A legfontosabb szabályok
- Bővítéskor és egyszerűsítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nem nulla számmal változtasd.
- Vegyes számot művelet előtt alakíts tört alakra.
- Az eredményt egyszerűsítsd, és ha kell, alakítsd vegyes számmá.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 3/4 + 1/6.
1. A 4 és a 6 közös többszöröse 12.
2. Bővítünk: 3/4 = 9/12 és 1/6 = 2/12.
3. Összeadunk: 9/12 + 2/12 = 11/12.
Az eredmény kisebb 1-nél, mert az egészhez hiányzó 1/4-nél kevesebb, 1/6 került hozzá.
Részletes magyarázatok és példák
01A tört részei és szemléltetése+
A 3/4 három negyedet jelent: egy egészet négy egyenlő részre osztunk, és hármat veszünk. A számegyenesen az egységszakaszt is négyfelé oszthatod.
Az 5/4 egy egész és még egy negyed; a nevező nem lehet nulla.
02Bővítés, egyszerűsítés és összehasonlítás+
Bővítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk: 2/3 = 8/12. Egyszerűsítéskor közös osztóval osztjuk őket: 6/8 = 3/4.
Közös pozitív nevező mellett a nagyobb számlálóhoz nagyobb tört tartozik.
03Törtek összeadása és kivonása+
Összeadni és kivonni azonos méretű részeket tudunk, ezért közös nevezőre hozunk. A 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
Csak a számlálókat adjuk össze; a nevező a részek méretét jelöli, ezért változatlan marad.
04Törtek szorzása és osztása+
Szorzásnál a számlálókat és a nevezőket szorozzuk: 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5. Nem nulla törttel osztani a reciprokával való szorzás: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 5/6.
Nulla reciprokát nem értelmezzük.
05Tört, tizedes tört és vegyes szám átalakítása+
A tizedes tört helyi értékes írásmód: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Törtből tizedes alakot osztással kapsz: 3 : 8 = 0,375.
Vegyes számnál 2 és 1/3 = 2 + 1/3 = 7/3. Nem minden törtnek véges a tizedes alakja: 1/3 = 0,333….
Lépésről lépésre, részletesen
Egész, egységtört és több törtrész+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Törtrészt csak az egész megnevezésével értelmezünk. Ha az egészet n egyenlő részre osztjuk, egy rész 1/n.
A nevező az egyenlő részek száma, a számláló az ezekből vett részek száma; nem egyenlő darabokból nem olvashatunk le így törtrészt.
Részből egész
24 darab 3/4 része: egy negyed 24:4=6, három negyed 18. Ha 18 darab az egész 3/4-e, előbb 18:3=6 egy negyed, majd 6·4=24 az egész.
Rajzzal vagy szakaszokkal a két irány ellenőrizhető.
Összehasonlítás
Azonos nevezőnél több rész nagyobb; azonos számlálónál kisebb nevező nagyobb rész. Különböző egészekből vett azonos tört nem feltétlenül azonos mennyiség.
A maradék törtrész az egészből kivont rész: ha 3/4 elfogyott, 1/4 maradt.
Kidolgozott példa
Egy 28 oldalas füzet 3/7 részét írtuk tele. Hány oldal maradt üres?
Egy heted 28:7=4 oldal.
Három heted 3·4=12 oldal.
Üres 28−12=16 oldal.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Törtek, tizedes törtek és műveletek+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Egyszerűsítéskor számlálót és nevezőt ugyanazzal a nemnulla számmal osztjuk, bővítéskor szorozzuk. Összeadásnál és kivonásnál közös nevező kell.
Természetes számmal szorzás ismételt összeadásként értelmezhető, természetes számmal osztás egyenlő részekre bontás.
Tizedes alak
A tizedesjegyek tizedet, századot és ezredet jelölnek. 0,35=35/100=7/20. Összeadásnál és kivonásnál tizedesvesszőket írunk egymás alá. 1,25·3=3,75; 3,75:3=1,25.
A műveletet becsléssel és az ellentétes művelettel ellenőrizzük.
Becslés és tört–egész kapcsolat
1/2+1/3 nagyobb 1/2-nél, de kisebb 1-nél. 3/4·2=6/4=1,5, míg 3/4:2=3/8. Ha egész törtrészét keresed, az egészet a nevezővel osztod és a számlálóval szorzod; a rész alapján az egészhez megfordítod a lépéseket.
Kidolgozott példa
Számítsd ki 3/4−1/6-ot!
Közös nevező 12.
3/4=9/12, 1/6=2/12.
Különbség 7/12, ami 0 és 3/4 között van.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy üvegben 3/4 liter szörp van. Ebből 1/6 litert kitöltünk.
Mennyi marad?
Közös részméretet választunk: 3/4 = 9/12, 1/6 = 2/12.
Kivonunk: 9/12 − 2/12 = 7/12 liter. A nevező változatlan, mert a részek mérete ugyanaz.
Ellenőrzés: 7/12 + 2/12 = 9/12 = 3/4. A maradék pozitív, és kisebb a kiinduló mennyiségnél.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mennyi 3 · 2/5, és mit jelent ez a művelet?
Megoldás és magyarázat
Az eredmény 6/5 = 1 egész 1/5. Háromszor veszünk kétszer egyötödöt, tehát összesen hat egyötödöt.
2. kérdés
Igaz-e, hogy 2/3 + 1/6 = 3/9?
Megoldás és magyarázat
Nem. Közös nevezővel 2/3 = 4/6, így az összeg 5/6.
A nevezők összeadása különböző méretű részeket keverne össze.