Összeszámlálás
A lehetőségeket listával vagy ágrajzzal rendezzük, hogy minden megengedett eset pontosan egyszer szerepeljen.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Különböző eset
A feladat mondja meg, mit tekintünk különbözőnek. Ugyanazt a választást más sorrendben leírva nem mindig kapunk új esetet.
Anna–Bori és Bori–Anna ugyanaz a pár, ha nincs eltérő szerepük.
Rendezett felsorolás
Rögzítsd az első választást, és írd mellé az összes lehetséges folytatást. Csak ezután változtasd meg az elsőt.
A, B, C-ből két különböző betű: AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Szorzás és korlátozás
Azonos számú folytatásnál a választások száma összeszorozható. Tiltás esetén külön nézd meg a megmaradt ágakat.
Két póló és három nadrág hat öltözetet ad, ha mindegyik mindegyikkel viselhető.
A lecke végére: Minden lehetőséget pontosan egyszer számolsz meg, listával vagy ágrajzzal.
Értsd meg az összefüggést!
Az összeszámlálásnál két veszély van: kimarad egy eset, vagy ugyanazt kétszer számolod. A rendszeres felsorolás ezt előzi meg.
Rögzítsd az első választást, és sorold fel hozzá az összes lehetséges folytatást; csak ezután lépj a következő első választásra.
A sorrend szerepe a történettől függ. A piros felső és a kék nadrág más öltözet, mint a kék felső és a piros nadrág.
Két gyerek kiválasztásánál viszont Anna–Bence és Bence–Anna ugyanaz a pár lehet, ha nincs külön szerepük.
Szorzással akkor számolhatsz egyszerűen, ha minden első választáshoz ugyanannyi megengedett folytatás tartozik. Ha valamit tilt a feladat, az ágak eltérhetnek.
Kis feladatban a teljes felsorolás nem kerülőút, hanem jól ellenőrizhető megoldás.
Nézzük meg egy példán!
Minden párost pontosan egyszer
| Kék nadrág | Fekete nadrág | |
|---|---|---|
| Piros póló | piros–kék | piros–fekete |
| Fehér póló | fehér–kék | fehér–fekete |
| Zöld póló | zöld–kék | zöld–fekete |
A legfontosabb szabályok
- Ha egymás után több választás történik, vizsgáld meg, hány folytatás tartozik egy lehetőséghez.
- Ha a sorrend nem számít, az AB és BA ugyanaz az eset.
- Kis elemszámnál a teljes, rendezett felsorolás a legbiztosabb.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: A, B, C közül két különböző betűből hány sorrend készül?
1. A-val kezdve: AB, AC.
B-vel: BA, BC. C-vel: CA, CB.
2. Három kezdőbetűhöz két-két folytatás tartozik.
3. Összesen 3 · 2 = 6 sorrend van.
Részletes magyarázatok és példák
01Teljes, rendezett felsorolás+
Rögzítsd az első elemet, és sorold fel az összes hozzá illő másodikat. A, B, C közül két különböző betűből AB, AC, BA, BC, CA, CB készül.
Az ábécérend segít észrevenni a kihagyást.
02Faábra és táblázat+
Táblázatban az egyik választást a sor, a másikat az oszlop jelöli. Két leves és három főétel így 2 sorból és 3 oszlopból álló, 6 cellás táblázatot ad.
Minden cella egy menü.
03Többlépéses választások+
Ha minden első választást ugyanannyi folytatás követ, a lehetőségek számát összeszorozhatod. 2 póló, 3 nadrág és 2 sapka 2 · 3 · 2 = 12 öltözet. Korlátozás esetén előbb nézd meg, minden ág megengedett-e.
04Sorrenddel és sorrend nélkül számolt esetek+
Anna és Bori egy párt alkotnak attól függetlenül, melyiküket írod előre. Első és második helyezettként viszont AB és BA két eredmény.
Előbb mondd ki, számít-e a sorrend, csak utána számolj.
05Tiltott és ismétlődő esetek kiszűrése+
Ha ismétlés tilos, AA, BB, CC nem kerülhet a listába. Ha egy feltétel szerint A nem állhat elöl, az A-val kezdődő eseteket húzd ki.
Minden megmaradt esetet ellenőrizz az összes feltétellel.
Lépésről lépésre, részletesen
Összes eset, fadiagram és véletlen+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Az összes eset felsorolásához rögzített sorrendet használunk. Ha két döntés követi egymást, fadiagram ágai segítenek: minden első választáshoz minden megengedett másodikat felírunk.
A tiltott és ismétlődő eseteket a feladat szabálya szerint kezeljük.
Sorrend és ismétlés
Három különböző sapka és két sál 3·2=6 párosítás. Két helyre az 1,2,3 számjegyeket ismétlés nélkül téve 3·2=6 lehetőség, ismétléssel 3·3=9.
A 12 és 21 más sorrend, de ugyanazon két elem kiválasztása sorrend nélkül egy eset.
Biztos, lehetséges, lehetetlen
Csak piros golyókat tartalmazó zsákból pirosat húzni biztos, kéket lehetetlen. Vegyes zsákból piros lehetséges, de nem biztos.
A gyakoribb és a biztos nem ugyanaz; a következő kimenetet az előző próbák nem döntik el automatikusan.
Kidolgozott példa
Kétféle levesből és háromféle főételből hány menü készül egy-egy fogással?
Az első leveshez 3 főétel tartozik.
A második leveshez szintén 3.
Összesen 3+3=6 menü; a párokat felsorolva is ellenőrizhető.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Anna, Bence és Csilla közül két gyereket választunk ugyanarra a feladatra. Hány különböző pár van?
Annával két pár készül: Anna–Bence és Anna–Csilla.
Bencével a még nem szereplő pár Bence–Csilla. Bence–Anna már az első pár ismétlése lenne.
Összesen három pár van. Csillával mindkét lehetséges párt már felsoroltuk.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Ha az egyik gyerek felolvasó, a másik időmérő, ugyanennyi eset van?
Megoldás és magyarázat
Nem. A szerepek miatt a sorrend számít: három felolvasóhoz két időmérő választható, így 3 · 2 = 6 eset van.
2. kérdés
A, B, C közül két betűt választunk sorrendben, ismétlés nélkül. Hány lehetőség van?
Megoldás és magyarázat
Hat: AB, AC, BA, BC, CA, CB. Három kezdéshez két-két folytatás tartozik.