Adatok és átlag
Táblázatból és diagramról adatot olvasunk le, majd az összeg és darabszám alapján számítjuk az átlagot.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (2) →
Alapfogalmak, példákkal
Adat és leolvasás
A fejléc, tengely és egység mondja meg, mire vonatkozik egy szám. A skálabeosztást nem találhatjuk ki szemre.
Ha egy beosztás 2 fő, az ötödik osztás 10 főt jelent.
Összeg és darabszám
Minden adat minden előfordulását beleszámítjuk az összegbe és darabszámba.
A 4, 4, 7 adatsor összege 15, darabszáma 3.
Számtani átlag
Az átlag az összeg egyenlő részekre osztásából adódik. Nem feltétlenül egyezik egyik eredeti adattal sem.
2 és 5 átlaga (2 + 5) : 2 = 3,5.
A lecke végére: Az átlagot egyenletes elosztásként értelmezed, és hiányzó adatot is kiszámítasz.
Értsd meg az összefüggést!
Az átlag azt mutatja, mennyi jutna egy adatra, ha az összes mennyiséget egyenlően osztanánk el. Nem állítja, hogy minden adat valóban ekkora.
A 10, 14, 16 és 20 pont összesen 60, így egyenlő elosztásnál mindegyik fordulóra 15 pont jutna.
Hiányzó adatnál megfordíthatod ezt a gondolatot. Ha ismered az átlagot és az adatok számát, az összegük ezek szorzata.
Ebből kivonva az ismert adatokat megkapod a hiányzót. Előbb a teljes adatszámot tisztázd: a hiányzó adat is beleszámít.
Táblázatból és diagramról nem csak számot olvasunk. A cím, az egység és a kategória együtt mondja meg az adat jelentését.
Az eredményt hasonlítsd az adatokhoz: a számtani átlag nem lehet kisebb a legkisebb vagy nagyobb a legnagyobb adatnál.
Nézzük meg egy példán!
Az átlag egyenletes elosztást jelent
| Tanuló | Anna | Bence | Csilla |
|---|---|---|---|
| Elolvasott könyv | 2 | 4 | 3 |
| Egyenletesen elosztva | 3 | 3 | 3 |
A legfontosabb szabályok
- Átlag előtt számold meg az adatokat.
- A leolvasott szám mellé írd oda az egységet.
- Ellenőrizd, hogy a kapott átlag a legkisebb és legnagyobb adat közé esik-e.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: négy mérés átlaga 12 cm, három érték 10, 11 és 13 cm. Mennyi a negyedik?
1. Az összeg 4 · 12 = 48 cm.
2. Az ismert értékek összege 34 cm.
3. A hiányzó mérés 48 − 34 = 14 cm.
Részletes magyarázatok és példák
01Táblázatok és oszlopdiagramok+
Olvasd el a táblázat fejléceit vagy a diagram tengelyeit. Ha az oszlopok a hét napjaihoz tartoznak, ne keverd össze a nap sorszámát a leolvasott mennyiséggel.
Egy 2-es léptékű skálán öt osztás 10 egység.
02Adatok összege és darabszáma+
Az összeghez minden adat minden előfordulását add össze. A 4, 4, 7 adatsor három adatot tartalmaz, összegük 15.
Az ismétlődő 4-et kétszer kell figyelembe venni; a különböző értékek száma nem az elemszám.
03Számtani átlag+
Átlag = összeg : darabszám. A 8, 10 és 12 pont átlaga 30 : 3 = 10.
Az átlag lehet olyan érték is, amelyik nem szerepel a listában; 2 és 5 átlaga 3,5.
04Hiányzó adat visszaszámítása+
Ha öt adat átlaga 8, összegük 40. Ha négy ismert adat összege 31, az ötödik 40−31 = 9.
Ezután ellenőrizd: (31+9) : 5 valóban 8.
05Skála, egység és reális ellenőrzés+
Az átlag nem lehet kisebb a legkisebb adatnál vagy nagyobb a legnagyobbnál. A skálán figyeld a mértékegységet: az „ezer Ft” azt jelenti, hogy a leolvasott 3 valójában 3000 Ft.
Lépésről lépésre, részletesen
Adatgyűjtés, diagram és gyakoriság+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Adatot egységes szempont szerint gyűjtünk, táblázatban vagy diagramon rendezünk. A gyakoriság azt mondja meg, hányszor fordult elő egy érték.
A leolvasáshoz cím, tengely, egység és jelmagyarázat kell.
Olvasás és készítés
Egy oszlop magasságát a skálához mérjük, nem az egész rajz méretéhez. Ha egy jel három tanulót jelent, négy jel 12 tanuló.
Diagramkészítéskor azonos osztásközt és egyértelmű feliratot használunk. Részletekből összesen összeadással, különbséget kivonással számolunk.
Kísérlet
Kockadobás eredményeit táblázatba írhatjuk. A leggyakoribb eredmény nem válik biztossá a következő dobásnál.
Sok ismétlés gyakorisági mintázatot mutathat, de kevés próba nem garantálja az összes kimenet előfordulását. A hatodikos átlag külön fogalom: az összeg osztva a darabszámmal.
Kidolgozott példa
Egy táblázatban hétfőn 12, kedden 9, szerdán 15 könyvet kölcsönöztek. Hányat összesen, és mennyivel többet szerdán, mint kedden?
Összesen 12+9+15=36.
A különbség 15−9=6.
A „mennyivel több” különbséget, a „hányszor annyi” arányt kérne.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Számtani átlag, hiányzó adat és adatellenőrzés+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Átlag az adatok összege osztva darabszámukkal. Ez egy kiegyenlített érték, nem feltétlenül fordul elő az adatsorban.
Ha átlag és darabszám adott, összeg=átlag·darabszám.
Hiányzó adat
Négy szám átlaga 7, tehát összegük 28. Ha három összege 20, a negyedik 8.
Csoportok átlagát nem egyszerűen átlagoljuk, ha a létszámuk eltér: az összeg és összes létszám számít.
Ellenőrzés
Az átlag az adatok legkisebb és legnagyobb értéke közé esik. 3,4,8 átlaga 5, ami egyik megadott adat sem. Az átlagot megváltoztatja egy adat cseréje: ha az összeg 6-tal nő három adat mellett, az átlag 2-vel nő.
Diagramról olvasott értékeknél az egységet és skálát is ellenőrizd.
Kidolgozott példa
Öt futás idejének átlaga 12 perc. Négy idő összege 47 perc.
Mennyi az ötödik?
Összes idő 5·12=60 perc.
Hiányzó 60−47=13 perc.
(47+13)/5=12 ellenőrzi.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Négy dolgozat átlaga 18 pont. Három eredmény 15, 20 és 17 pont.
Mennyi a negyedik?
A négy eredmény teljes összege 4 · 18 = 72 pont.
Az ismert három összege 15 + 20 + 17 = 52 pont, ezért a negyedik 72 − 52 = 20.
Ellenőrzés: (15 + 20 + 17 + 20)/4 = 72/4 = 18 pont.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Miért nem hárommal szorozzuk a megadott átlagot?
Megoldás és magyarázat
Az átlag négy dolgozatra vonatkozik. Három eredmény ismert, de a hiányzó negyedik is része a teljes adatsornak.
2. kérdés
Három adat átlaga 6, kettő közülük 4 és 7. Mennyi a harmadik?
Megoldás és magyarázat
Az összeg 3 · 6 = 18. A két ismert adat összege 11, így a hiányzó 7.
Ellenőrzés: (4 + 7 + 7) : 3 = 6.