Halmazok és logika
Először csoportosítunk, majd a feltételekből döntjük el, mi igaz, mi lehetséges és mi biztos.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Halmaz és közös rész
A halmaz elemek csoportja, amelyhez egyértelműen eldönthető a hozzátartozás. Két halmaz közös részébe azok kerülnek, amelyek mindkettő feltételét teljesítik.
A 2, 3, 4, 5 számok között a páros és 5-nél kisebb számok közös csoportja 2 és 4.
Állítás és feltétel
Az állításról a megadott helyzetben eldöntjük, igaz-e. A feltétel szűkíti, mely esetek jöhetnek szóba.
„Minden 5-re végződő egész szám páratlan” igaz; a megfordítása hamis, mert a 3 is páratlan.
Biztos és lehetséges
A biztos minden megengedett esetben igaz. A lehetségeshez elég egy megfelelő eset.
Egy ellenpélda cáfolja a minden esetre tett állítást.
Három piros vagy kék korong között biztosan van két azonos színű. Mindhárom lehet piros, de nem biztos.
A lecke végére: Elkülöníted a lehetséges és a biztos állítást, és a feltételeket egyszerre ellenőrzöd.
Értsd meg az összefüggést!
A „lehet” állításhoz elég egy megfelelő példa. A „biztosan” állításnak minden megengedett esetben igaznak kell lennie.
Egyetlen ellenpélda megmutatja, ha a biztosnak gondolt következtetés hibás. Ezért a kipróbálás mellett a feladat összes feltételét is figyelembe kell venned.
Az „és” két feltétel együttes teljesülését jelenti. A „vagy” sok feladatban azt engedi meg, hogy az egyik vagy mindkettő igaz legyen; ha kizárólag az egyiket szabad teljesíteni, ezt a feladatnak pontosítania kell.
Csoportosításkor egy elem több csoporthoz is tartozhat. Jelöld a közös részt, és az összes darabszám keresésekor ne számold kétszer.
Rajz, korong vagy egyszerű táblázat segít abban, hogy a következtetésedet más is ellenőrizhesse.
Nézzük meg egy példán!
Két halmaz kapcsolata
| Halmazművelet | A = {1; 2; 3}, B = {3; 4} |
|---|---|
| Metszet: A ∩ B | {3} – mindkettőben szerepel. |
| Unió: A ∪ B | {1; 2; 3; 4} – legalább az egyikben szerepel. |
| Különbség: A \ B | {1; 2} – A-ban benne van, B-ben nincs. |
A legfontosabb szabályok
- A „biztosan” szóhoz minden lehetséges esetben igaz állítás kell.
- A „lehet” szóhoz egyetlen megfelelő példa is elég.
- Két csoport összeszámolásakor a mindkettőhöz tartozókat ne számold kétszer.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: három korong mindegyike piros vagy kék. Biztosan van két azonos színű?
1. Ha az első kettő azonos, már kész vagyunk.
2. Ha különböző, egyik piros, másik kék.
3. A harmadik valamelyikkel azonos.
Tehát minden esetben igen.
Részletes magyarázatok és példák
01Feltételek különválasztása+
A „páros és 10-nél kisebb pozitív szám” három feltételt kapcsol össze. Írd fel külön: páros; nagyobb nullánál; kisebb 10-nél.
A jó számok 2, 4, 6, 8, mert mindegyik feltételt teljesítik.
02Igaz és hamis állítások+
Egy állítás igazságát konkrét adatokkal ellenőrizheted. „Minden 5-re végződő szám páratlan” igaz az egész számok körében; „minden páratlan szám 5-re végződik” hamis, például 3 miatt.
Ne cseréld fel a két mondatot.
03Biztos és lehetséges következtetés+
A „biztos” erősebb, mint a „lehetséges”. Két színből három korongot választva biztosan lesz két azonos színű.
Mindhárom lehet piros, de ez nem biztos. Rajzolj több elrendezést, hogy megkülönböztesd a két fogalmat.
04Egyszerű halmazábra+
Két csoport közös tagjai a körök átfedésébe kerülnek. Ha 8-an úsznak, 5-en futnak, és 2-en mindkettőt teszik, a csak úszók száma 6, a csak futóké 3.
Összesen 6+2+3 = 11 különböző ember van.
05Kizárásos gondolkodás és ellenpélda+
Táblázatban jelöld a biztos és a kizárt kapcsolatokat. Ha három különböző gyümölcs közül Anna nem almát és nem körtét kapott, csak a szilva marad.
Egy ellenpélda megcáfolhatja a „mindig” állítást, de egy jó példa nem bizonyítja.
Lépésről lépésre, részletesen
Két halmaz, közös rész és állítások+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Egy tárgy több tulajdonságnak is megfelelhet. Két halmaz közös részébe azok kerülnek, amelyek mindkét feltételt teljesítik.
Az „és” mindkét tulajdonságot, a „nem” a megadott tulajdonság hiányát jelöli az adott csoportban.
Állítás és tagadás
Az igaz vagy hamis állítást a megadott adatok alapján döntjük el. „Minden korong piros” tagadása: van legalább egy nem piros korong; nem azt jelenti, hogy egyik sem piros.
A „ha…, akkor…” kapcsolatnál a feltételt teljesítő eseteket vizsgáljuk.
Venn-diagram
Először a közös elemeket helyezd el, utána a csak egyik csoportba tartozókat, végül a kívül maradókat. A közös elemet ne számold kétszer az összesítésnél.
A besorolást az összes megadott tárgyon ellenőrizd.
Kidolgozott példa
A számok 1,2,3,4,5,6. Egyik csoport páros, másik 3-mal osztható.
Mi a közös rész?
Párosak 2,4,6; 3-mal oszthatók 3,6.
Mindkét tulajdonságot csak 6 teljesíti.
A csak egyik csoportban lévők 2,4 és 3; kívül 1,5.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
A 2, 3, 4, 5, 6 számok közül azokat keressük, amelyek párosak és 5-nél kisebbek. Melyek ezek?
A páros számok: 2, 4, 6.
Az 5-nél kisebb számok: 2, 3, 4. Mindkét feltételt a 2 és a 4 teljesíti.
A 6 páros, de nem kisebb 5-nél; a 3 kisebb 5-nél, de nem páros. Ezért egyik sem jó.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Igaz-e, hogy minden páros szám kisebb 5-nél?
Megoldás és magyarázat
Nem. A 6 ellenpélda: páros, mégsem kisebb 5-nél.
Egy ellenpélda elég az általános állítás cáfolatához.
2. kérdés
A 6 páros szám. Ebből biztosan következik, hogy osztható 4-gyel?
Megoldás és magyarázat
Nem. A 6 ellenpélda.
A párosság nem elég a 4-gyel oszthatósághoz.