Koordináták
A koordinátákat a pont címeként értelmezzük; mozgásnál a helyzet változását külön számoljuk vízszintesen és függőlegesen.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (2) →
Alapfogalmak, példákkal
Origó és tengelyek
A szokásos derékszögű koordinátarendszerben az x tengely vízszintes, az y tengely függőleges. Metszéspontjuk az origó.
Az origó koordinátája (0; 0). Az x tengelyen minden pont második koordinátája nulla.
Rendezett koordinátapár
A pont első koordinátája a vízszintes, második koordinátája a függőleges helyzetet adja meg. Az egységbeosztást a rajzról kell leolvasni.
A P(−2; 3) pont az origótól két egységgel balra, hárommal feljebb van.
Hely és elmozdulás
Az elmozdulást a kezdőpont megfelelő koordinátáihoz adjuk. Az út hossza és a kezdőponttól való eltérés külön fogalom.
P(−2; 3)-ból öt egységet jobbra lépve (3; 3)-ba jutunk.
A lecke végére: A helyet és az elmozdulást koordinátákkal különbözteted meg.
Értsd meg az összefüggést!
A pont koordinátái a helyet az origóhoz képest adják meg. Az első koordináta vízszintes, a második függőleges.
A (2; 3) és a (3; 2) különböző hely, ezért a sorrend nem cserélhető fel. Az előjel azt mutatja, melyik irányban keresed a pontot.
Elmozduláskor nem az origóból indulsz újra, hanem a korábbi helyhez adod az elmozdulást. Négy egység jobbra az x-et néggyel növeli; két egység lefelé az y-t kettővel csökkenti.
Több lépésnél a köztes pontok felírása segít.
A visszaút ellenőrző módszer: az ellentétes elmozdulásoknak vissza kell vezetniük az indulópontra. A koordinátarendszer beosztását is olvasd el: egy rajzi rácsköz nem szükségképpen egy egység.
Nézzük meg egy példán!
Először vízszintesen, azután függőlegesen
| Pont | Vízszintes koordináta | Függőleges koordináta |
|---|---|---|
| A(2; 3) | 2 jobbra | 3 felfelé |
| B(−2; 3) | 2 balra | 3 felfelé |
| C(2; −3) | 2 jobbra | 3 lefelé |
A legfontosabb szabályok
- Mindig az x-koordinátával kezdd.
- Több lépésnél írd fel minden köztes pont koordinátáját.
- Ismétlődő útvonalnál előbb számold ki egy teljes kör eredő elmozdulását.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: P(1;2)-ből 4-et jobbra, majd 3-at lefelé lépünk.
1. Jobbra: (1+4;2) = (5;2).
2. Lefelé: (5;2−3) = (5;−1).
3. A végpont az x tengely alatt egy egységgel van.
Részletes magyarázatok és példák
01Az x- és y-koordináta sorrendje+
A P(2;3) pontnál az első szám az x-koordináta: 2 egység jobbra. A második az y-koordináta: 3 egység felfelé.
A (3;2) másik pont. A sorrendet mindig tartsd meg.
02Pontok felvétele és leolvasása+
Ábrázolás előtt nézd meg, mekkora távolság jelöl 1 egységet. Leolvasáskor képzeld el, hogy a ponttól merőlegesen a tengelyekre lépsz.
Tengelyen fekvő pont egyik koordinátája nulla: például (4;0).
03Jobbra–balra, fel–le elmozdulás+
Jobbra lépés növeli, balra lépés csökkenti az első számot. Felfelé a második nő, lefelé csökken.
A (2;5)-ből 3-at balra lépve (−1;5)-be jutsz; a második koordináta nem változik.
04Útvonalak és eredő elmozdulás+
Többlépéses útvonalnál írd fel a köztes pontokat. Jobbra 4, balra 1 összesen jobbra 3 elmozdulás.
Az út hossza 5 egység, az elmozdulás hossza 3; a kettő nem ugyanaz.
05Tengelyes szimmetria koordinátákkal+
A vízszintes tengelyre tükrözve a pont ugyanannyival kerül a tengely túloldalára: (2;3) képe (2;−3). Függőleges tengelyre tükrözve (−2;3).
A tengelyen fekvő pont önmaga tükörképe.
Lépésről lépésre, részletesen
Négyzetháló, útvonal és negatív számok+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A négyzethálón indulópont, irány és lépésszám együtt határozza meg az útvonalat. Térkép jelmagyarázatát és a nézőpontot előbb tisztázd.
Számegyenesen jobbra nagyobb, balra kisebb szám található; negatív szám a nullánál kisebb helyzetet is jelölhet, például hőmérsékletben.
Mozgás és számpár
A hatodikos koordinátarendszerben (x;y) első száma vízszintes, második függőleges helyet ad. (−2;3) az origótól 2-vel balra, 3-mal felfelé van. Egy vízszintes mozgás csak az első, függőleges csak a második koordinátát változtatja.
Ellentett és abszolút érték
Egy szám ellentettje a nullára tükrözött helye, abszolút értéke a nullától mért távolsága. −5 ellentettje 5, abszolút értéke 5. Negatív számoknál a nagyobb abszolút érték kisebb számot is jelenthet: −8<−3.
Kidolgozott példa
−3 °C-ról 5 fokot melegszik a levegő. Mennyi az új hőmérséklet?
A számegyenesen −3-ról 5-öt jobbra lépünk.
3 lépés a nulla, további 2 a +2.
Az új hőmérséklet 2 °C.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Koordináták, tengelyek és pontok mozgatása+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A síkbeli koordinátapárban először vízszintesen, utána függőlegesen tájékozódunk. A tengelyek metszése az origó (0;0).
Grafikonról mindig a tengely feliratával és egységével együtt olvasunk.
Pont és mozgás
(−3;2) hárommal balra, kettővel felfelé van. x tengely pontjain y=0, y tengelyen x=0. Ha a pont 4-gyel jobbra mozdul, csak első koordinátája nő 4-gyel.
Alakzat és koordináta
Adott pontokat az utasítás szerinti sorrendben összekötve alakzatot rajzolunk. Az azonos második koordinátájú pontok vízszintes, az azonos első koordinátájúak függőleges egyenesen vannak.
Egy téglalap hiányzó csúcsához a többi csúcs vízszintes és függőleges koordinátáit párosíthatjuk.
Kidolgozott példa
(−2;3) pontot 5-tel jobbra és 2-vel lefelé mozgatjuk. Hol lesz?
Vízszintes koordináta −2+5=3.
Függőleges 3−2=1.
Az új pont (3;1).
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Az A(−2; 3) pontból 5 egységet jobbra, majd 4 egységet lefelé lépünk. Hová jutunk?
Jobbra lépve az x változik: −2 + 5 = 3. A köztes pont (3; 3).
Lefelé lépve az y változik: 3 − 4 = −1. A végpont B(3; −1).
Ellenőrzés: négyet felfelé és ötöt balra lépve visszakapjuk az A(−2; 3) pontot.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Melyik koordináta változik, ha csak függőlegesen mozgunk?
Megoldás és magyarázat
Csak a második, az y. A vízszintes helyet megadó x változatlan.
2. kérdés
A (2; −1) pontból 3 egységet lefelé lépünk. Mi az új pont?
Megoldás és magyarázat
(2; −4). Csak a második koordináta csökken hárommal; a vízszintes hely változatlan.