Geometria és térszemlélet
Az ábrán előbb megnevezzük az alakzatot és a keresett mennyiséget; ezután választunk hozzá megfelelő összefüggést.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (2) →
Alapfogalmak, példákkal
Síkidom és test
A síkidom a síkban helyezkedik el, a test térbeli alakzat. A testet síkbeli lapok vagy görbült felület határolhatja.
A négyzet síkidom, a kocka test; a kockának hat négyzetlapja van.
Kerület és terület
A kerület az alakzat határvonalának hossza. A terület a lefedett síkrész nagyságát méri.
A kettő különböző mennyiség.
Egy 6 cm és 4 cm oldalú téglalap kerülete 20 cm, területe 24 cm².
Felszín és térfogat
A felszín a test határoló felületének területe, a térfogat a test által elfoglalt tér mértéke.
Egy 2 cm élű kocka felszíne 6 · 4 = 24 cm², térfogata 2 · 2 · 2 = 8 cm³.
A lecke végére: Rajzzal megkülönbözteted a kerületet és a területet, és gondolkodsz a térbeli alakzatokról.
Értsd meg az összefüggést!
A kerület az alakzat körbejárásának hossza. A terület azt mondja meg, mekkora felületet fed le.
Egy kerítéshez kerületet, egy padló burkolásához területet számolunk. Ugyanannak a téglalapnak mindkét adata kiszámítható, de különböző kérdésre válaszolnak.
A téglalap területképletét egységnégyzetekkel is megértheted: ha egy sorban hat kis négyzet van és négy sor készül, összesen 6 · 4 négyzetet számolunk. A kerületnél két hosszú és két rövid oldalt adunk össze.
Térbeli feladatnál gondold végig, mely részek látszanak, és melyek takarásban vannak. Egy test hálóján a lapok nem tetszőlegesen kapcsolódnak: összehajtva ugyanazt a testet kell létrehozniuk.
A szép rajz helyett az adatok és a kapcsolatok pontos jelölése számít.
Nézzük meg egy példán!
Kerület és terület ugyanazon az ábrán
A legfontosabb szabályok
- A kerület hosszúság, a terület négyzetes mértékegység.
- A képletbe azonos mértékegységű adatokat helyettesíts.
- A rajz lehet vázlatos, de az oldalak, szögek és merőlegesség jelölése legyen egyértelmű.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 6 cm és 4 cm oldalú téglalap kerülete és területe.
1. Kerülethez körbejárjuk az oldalakat: 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm.
2. Területhez a két szomszédos oldal hosszát szorozzuk: 6 · 4 = 24 cm².
3. Az eltérő egység jelzi: két különböző mennyiséget számoltunk.
Részletes magyarázatok és példák
01Síkidomok, testek és tulajdonságaik+
A háromszögnek három, a négyszögnek négy oldala van. A téglalap négy szöge derékszög, a négyzet ráadásul egyenlő oldalú.
A téglatestet hat téglalap határolja; a kocka élei egyenlők. Egy síkbeli négyzetet ne nevezz kockának.
02Kerület, terület és térfogat+
Téglalap: K = 2(a+b), T = ab. Háromszög: T = a·mₐ/2, ahol mₐ az a oldalhoz merőleges magasság.
Téglatest: V = abc, felszíne 2(ab+ac+bc). A 3 cm × 4 cm × 5 cm-es test térfogata 60 cm³, felszíne 94 cm².
03Szögek és szögösszegek+
A derékszög 90°, az egyenesszög 180°, a teljes szög 360°. A háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért 50° és 60° mellett a harmadik 70°.
A szöget szögmérővel mérjük; a rajzon megadott jelölés fontosabb a látszólagos alaknál.
04Szimmetria és geometriai transzformációk+
Tengelyes tükrözésnél a pont és a képe azonos távolságra van a tengelytől, és összekötő szakaszuk merőleges rá. Eltolásnál minden pont ugyanannyival és ugyanabba az irányba mozdul.
Ezek a mozgások megőrzik a hosszúságot és a szögeket.
05Ábraértelmezés és összetett alakzatok+
Összetett síkidomnál bontsd fel a területet ismert részekre. Egy 8 × 5 cm-es téglalapból kivágott 2 × 2 cm-es saroknégyzet után 40 − 4 = 36 cm² marad.
Kerülethez viszont a megmaradó határ minden szakaszát kell számolni, nem a területet kivonni.
Lépésről lépésre, részletesen
Kerület, terület, tükrözés és testek+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A kerület a határvonal hossza, a terület a lefedhető síkrész nagysága. Egy alakzat átrendezése megőrizheti a területet, miközben kerülete változik.
A négyzethálós lefedésben teljes és kiegészíthető résznégyzeteket számolunk.
Sík és szimmetria
Téglalap kerülete 2(a+b), területe a·b, négyzetnél 4a és a². Tengelyes tükrözésben megfelelő pontok a tengely két oldalán azonos merőleges távolságban vannak.
Nagyításnál a hosszakat ugyanazzal a szorzóval változtatjuk; a forma megmarad.
Test és nézet
Kockának 6 lapja,12 éle,8 csúcsa van. Téglatest lapjai téglalapok, kockáé négyzetek.
Hálóból hajtogatva ellenőrizd, fedik-e egymást lapok. Nézet csak egy irányból mutatja a testet; eltakart kockát is számolni kell.
Felsőbb évfolyamon téglatest felszíne 2(ab+ac+bc), térfogata abc.
Kidolgozott példa
Egy 5×3 négyzetből álló téglalap kerülete és területe?
A két oldal 5 és 3 egység.
Kerület 2(5+3)=16 hosszegység.
Terület 5·3=15 négyzetegység; a kettő nem azonos mértékű.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Háromszög, térszemlélet, felszín és térfogat+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Háromszög oldal szerint egyenlő oldalú, egyenlő szárú vagy különböző oldalú, szög szerint hegyes-, derék- vagy tompaszögű lehet. Szögösszege 180°.
Két oldal összege nagyobb a harmadiknál; ez a szerkeszthetőség feltétele.
Darabolás és tükrözés
Téglalap és négyzet területéből darabolással összetett alakzat területe számolható. Egy lépcsős alakzatot két téglalapra bontva a részek területét összeadjuk; befoglaló téglalapból hiányzó darabot kivonhatunk.
Tengelyes tükrözés őrzi a hosszakat és szögeket, a tükörpontok a tengelytől egyenlő távolságra vannak.
Test
Téglatest felszíne 2(ab+ac+bc), térfogata abc; kockánál 6a² és a³. Hálóban azonosítjuk a szomszédos és szemközti lapokat; nézetből a rejtett rész nem mindig határozható meg egyértelműen.
Két azonos nézetű test lehet eltérő, ezért a megadott összes feltételt használd.
Kidolgozott példa
Téglatest élei 2,3,4 cm. Mennyi a térfogata és felszíne?
V=2·3·4=24 cm³.
A háromféle lapterület 6,8,12 cm², mindegyik kétszer szerepel.
A=2(6+8+12)=52 cm².
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy téglalap oldalai 6 cm és 4 cm. Ugyanekkora kerületű lehet-e egy négyzet?
A téglalap kerülete 6 + 4 + 6 + 4 = 20 cm; területe 6 · 4 = 24 cm².
A négyzet négy egyforma oldalának összege 20 cm, így egy oldala 20 : 4 = 5 cm.
A négyzet területe 5 · 5 = 25 cm². Tehát azonos kerület mellett a terület különbözhet.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Ha egy téglalap mindkét oldalát megkétszerezzük, hogyan változik a területe?
Megoldás és magyarázat
Négyszeres lesz, mert kétszer annyi egységnégyzet fér egy sorba és kétszer annyi sor készül.
2. kérdés
Miért nem hasonlítható össze közvetlenül egy 20 cm-es kerület és egy 20 cm²-es terület?
Megoldás és magyarázat
Másféle mennyiséget és más egységet jelölnek. Az azonos mérőszám nem jelent azonos geometriai tulajdonságot.