Százalék és arány
Minden százalékos feladatnál megkeressük a 100%-ot jelentő alapot; az árváltozást és az arányokat ehhez viszonyítjuk.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Arány
Az arány két mennyiséget hasonlít össze. Ha részekre osztunk egy egészet, az arányrészek összege adja a felosztás alapját.
A 2 : 3 arányú 25 fős csoportban egy arányrész 5 fő, így a két létszám 10 és 15.
Százalék és alap
A p% p századrészt jelent. Az alap a 100%-nak tekintett mennyiség; a százalékérték ennek adott része.
8000 Ft 15%-a 8000 · 0,15 = 1200 Ft.
Egymás utáni változások
A második változás általában már az első után kapott értékhez viszonyít. Emiatt az azonos százalékú csökkentés és növelés nem állítja vissza az eredeti értéket.
100 Ft 20%-os csökkentés után 80 Ft; ennek 20%-os növelése 96 Ft.
A lecke végére: A százalék alapját megnevezed, és az arányt a teljes mennyiséghez kapcsolod.
Értsd meg az összefüggést!
A százalék századrészt jelent. A 20% önmagában arány, a mennyiséghez kell tudni, minek a húsz százaléka.
Ugyanaz a százalék nagyobb alapból nagyobb értéket ad. A kedvezmény összege és az új ár külön mennyiség.
Visszaszámításnál azt vizsgáld, a megadott érték hány százaléka az eredetinek. Ha a kedvezményes ár az eredeti 80%-a, akkor osztani kell 0,8-del.
A kedvezményes árat húsz százalékkal megnövelve más alapból számolnál, ezért nem kapnád vissza a kiindulást.
Arányos felosztásnál az aránytagok összege adja az összes arányrészt. A 2:3 arány nem azt jelenti, hogy az egyik csoport az egész kétharmada.
Összesen öt rész van: az első csoport kétötöd, a második háromötöd.
Nézzük meg egy példán!
Mihez képest számolunk?
| Rész | Számítás | Érték |
|---|---|---|
| Teljes ár: 100% | adott | 8000 Ft |
| Kedvezmény: 25% | 8000 × 0,25 | 2000 Ft |
| Fizetendő: 75% | 8000 − 2000 | 6000 Ft |
A legfontosabb szabályok
- Döntsd el, melyik mennyiség a 100%.
- Egymás utáni százalékos változásokat szorzótényezőkkel számolj.
- Visszaszámításnál az új értéket a szorzótényezővel oszd.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: egy 8000 Ft-os táska 15%-kal olcsóbb lett.
1. A kedvezmény 8000 · 0,15 = 1200 Ft.
2. Az új ár 8000 − 1200 = 6800 Ft.
3. Másik út: 8000 · 0,85 = 6800 Ft.
Részletes magyarázatok és példák
01Alap, százalékláb és százalékérték+
5000 Ft 20%-ánál az alap 5000 Ft, a százalékláb 20%, a százalékérték 1000 Ft. Számolás: 5000 · 20/100.
Ha a részt és az egészet ismered, a százalékláb 100 · rész/egész, nem pedig a két szám különbsége.
02Növekedés és csökkenés+
20%-os növekedéskor az eredeti 100%-hoz 20% adódik: 1,2-szeres értéket kapunk. 20%-os csökkenéskor 0,8-del szorzunk. Az 5000 Ft-os ár 20%-os engedménnyel 4000 Ft; a kedvezmény összege 1000 Ft.
03Visszaszámítás+
Visszaszámításnál az új értéket elosztjuk a változás szorzójával. Ha a 20%-kal csökkentett ár 4000 Ft, az eredeti 4000/0,8 = 5000 Ft.
Nem 20%-ot kell hozzáadni az új árhoz.
04Egymást követő százalékos változások+
Az egymást követő változások szorzói összeszorzódnak. 10% emelés és 10% csökkentés után 1,1 · 0,9 = 0,99-szeres érték marad, vagyis 1%-kal kevesebb az eredetinél. A második változás alapja már az első után kapott mennyiség.
05Kamat, kedvezmény és pénzügyi alkalmazások+
Kamatos kamatnál a korábbi kamat is kamatozik: Kₙ = K₀(1+p/100)ⁿ, állandó éves p mellett. Egyszerű kamatnál mindig a kezdőtőke kamatozik.
Egyenes arányosságnál a hányados, fordított arányosságnál a szorzat állandó; ezeket ne keverd a százalékos változással.
A három alapfeladat
Százalékérték: mennyi az alap p%-a? Alap: minek a p%-a a megadott érték?
Százalékláb: a rész hány százaléka az egésznek? Mindig előbb nevezd meg, melyik mennyiség jelenti a 100%-ot.
Lépésről lépésre, részletesen
Százalék, arányos osztás és változó alap+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
p% az egész p/100 része. Százalékérték=alap·p/100; alapot visszaosztással, százaléklábat rész/alap·100-zal kapunk.
Több százalékos lépésnél a változás új alapra vonatkozhat.
Arányos osztás
2:3 arányban öt egyenlő részt osztunk. 5000 Ft esetén egy rész 1000, a két összeg 2000 és 3000. Egyenes arányosságnál az egyik mennyiség kétszerezése a másikat is kétszerezi, ha a feltétel állandó.
Visszafelé
20% kedvezmény után az ár az eredeti 80%-a. Ha az új ár 4000, az eredeti 4000/0,8=5000.
Nem az új ár 20%-át adjuk vissza. 10% növekedés, majd 10% csökkenés szorzója 1,1·0,9=0,99.
Kidolgozott példa
Egy 6000 Ft-os árat 15%-kal csökkentenek. Mennyi az új ár?
Kedvezmény 6000·0,15=900 Ft.
Új ár 6000−900=5100 Ft.
Másik út: 6000·0,85=5100.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy termék 20%-os kedvezménnyel 6400 Ft. Mennyi volt az eredeti ára?
A kedvezmény után az eredeti ár 80%-a marad. Ha az eredeti ár x, akkor 0,8x = 6400.
Az eredeti ár 6400/0,8 = 8000 Ft.
Ellenőrzés: 8000 Ft 20%-a 1600 Ft, és 8000 − 1600 = 6400 Ft.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
25 tanulót 2:3 arányban osztunk két csoportba. Hányan lesznek?
Megoldás és magyarázat
Összesen öt arányrész van, egy rész 25/5 = 5 fő. A két csoport 10 és 15 fős.
2. kérdés
Egy 6000 Ft-os áru ára 10%-kal csökken. Mennyi lesz az új ára?
Megoldás és magyarázat
5400 Ft. A kedvezmény 600 Ft, de a kérdés az új árat kéri: 6000 − 600 = 5400.