Egyenletek
Megoldáskor megengedett értékeket keresünk, és minden átalakításnál figyelünk arra, megmaradnak-e a megoldások.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Egyenlet és megoldás
Az egyenlet két kifejezés egyenlőségét állítja. Egy szám akkor megoldás, ha a megengedett helyettesítés után a két oldal valóban egyenlő.
A 2x + 3 = 11 egyenlet megoldása x = 4, mert 2 · 4 + 3 = 11.
Ekvivalens átalakítás
Ekvivalens átalakítás után a megoldáshalmaz ugyanaz. Mindkét oldalhoz ugyanazt a számot hozzáadhatjuk, vagy mindkét oldalt ugyanazzal a nem nulla számmal oszthatjuk.
2x + 3 = 11-ből mindkét oldalon 3-at kivonva 2x = 8 adódik.
Feltétel és visszahelyettesítés
A nevezők, gyökök és a történet korlátozhatják a megengedett értékeket. Nem ekvivalens lépés után különösen fontos az eredeti egyenletben való ellenőrzés.
√x = −2 nem oldható meg valós számokkal, bár a négyzetre emelt x = 4 egyenletnek van megoldása.
A lecke végére: Az egyenlet megoldását az egyensúly megőrzésével vezeted le.
Értsd meg az összefüggést!
Az egyenlet azt állítja, hogy két kifejezés értéke egyenlő. A megoldás olyan megengedett szám, amelyet behelyettesítve igaz állítást kapunk.
Az átalakítás célja nem az, hogy tetszőlegesen „átvigyünk” tagokat, hanem hogy ugyanazzal a művelettel egyszerűsítsük mindkét oldalt.
Az egyik oldalból ugyanazt kivonva, mint a másikból, az egyenlőség megmarad. Nem nulla számmal való osztás is megengedett.
Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel osztasz, előbb vizsgáld meg, lehet-e nulla; különben megoldást veszíthetsz.
Szöveges feladatban az ismeretlent nevezd meg és az egységét is rögzítsd. A visszahelyettesítés után az eredményt a történetben is ellenőrizd: a matematikai megoldásnak a darabszámra, hosszra vagy időre vonatkozó feltételeket is teljesítenie kell.
Nézzük meg egy példán!
Ugyanaz a művelet mindkét oldalon
- Kiindulás
3x + 5 = 20
- Mindkét oldalból −5
3x = 15
- Mindkét oldal osztva 3-mal
x = 5
- Visszahelyettesítés
3 × 5 + 5 = 20 ✓
A legfontosabb szabályok
- Írd fel az értelmezési tartományt, ha nevező, gyök vagy logaritmus szerepel.
- Törtes egyenletnél a nem nulla közös nevezővel szorozz.
- A kapott megoldást helyettesítsd vissza az eredeti egyenletbe.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 3(x−2) = 12.
1. Mindkét oldalt 3-mal osztjuk: x−2 = 4.
2. Mindkét oldalhoz 2-t adunk: x = 6.
3. Az eredetiben 3(6−2) = 12, tehát a megoldás helyes.
Részletes magyarázatok és példák
01Elsőfokú egyenletek+
Elsőfokú egyenlet rendezett alakja ax+b = 0. Ha a ≠ 0, a megoldás −b/a.
Ha a = 0 és b ≠ 0, nincs megoldás; ha mindkettő nulla, minden megengedett szám megoldás. Mindkét oldalon ugyanazt a megengedett műveletet végezd.
02Zárójeles és törtes egyenletek+
Zárójelet minden tagra szorzással bontunk. Törtes egyenletnél előbb kizárjuk a nulla nevezőt, aztán közös nevezővel szorzunk.
Például x/3 + 1 = 5 esetén hárommal szorozva x+3 = 15, tehát x = 12.
03Egyenlőtlenségek+
Egyenlőtlenségben nem egyenlőséget, hanem nagyságviszonyt keresünk. Negatív számmal szorozva vagy osztva a jel megfordul: −2x < 6 esetén x > −3.
A megoldást intervallummal vagy számegyenesen is ábrázolhatod.
04Értelmezési tartomány és kizárt értékek+
Az értelmezési tartomány megadja, milyen x-ek helyettesíthetők be. Tört nevezője nem nulla, valós négyzetgyök alatt nemnegatív szám, logaritmusban pozitív argumentum állhat.
E feltételeket az eredeti felírásból rögzítsd, még egyszerűsítés előtt.
05Visszahelyettesítés és idegen gyök+
A négyzetre emelés idegen gyököt hozhat létre. A √x = −2 egyenletnek nincs valós megoldása, mert a bal oldal nemnegatív.
Négyzetre emelve x = 4 adódik, de visszahelyettesítve 2 ≠ −2, ezért 4-et elvetjük.
Lépésről lépésre, részletesen
Szöveges feltétel egyenlettel és ellenőrzés+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
A keresett mennyiséget x-szel nevezzük meg, megadva mértékegységét és korlátját. A szöveg egyenlőségi kapcsolatát írjuk fel; megoldás után a történetben is ellenőrizzük.
Lépések
5x−7=18: 7-et adva 5x=25, majd 5-tel osztva x=5. Törtes egyenletnél számszerű közös nevezővel szorozhatunk.
A fordított művelet nem „oldalváltási varázslat”, hanem mindkét oldalon elvégzett azonos lépés.
Életszerű korlát
Életkor, darabszám és hossz nem lehet tetszőleges valós szám. Darabszámnak rendszerint nemnegatív egész kell lennie.
Ha a számítás nem ilyen értéket ad, a modell vagy a feltétel alapján nincs megfelelő megoldás.
Kidolgozott példa
Egy szám háromszorosánál 4-gyel több 31. Mi a szám?
3x+4=31.
3x=27, x=9.
Ellenőrzés: 3·9+4=31.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Három egyforma jegy és 400 Ft foglalási díj összesen 2500 Ft. Mennyi egy jegy ára?
Legyen x egy jegy ára forintban. Az egyenlet 3x + 400 = 2500.
Mindkét oldalból 400-at kivonunk: 3x = 2100. Mindkét oldalt hárommal osztjuk: x = 700.
Ellenőrzés: 3 · 700 + 400 = 2500 Ft. Egy jegy 700 Ft-ba kerül.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Mennyi az x, ha 2x − 5 = 13?
Megoldás és magyarázat
Mindkét oldalhoz ötöt adva 2x = 18, majd kettővel osztva x = 9. Ellenőrzés: 18 − 5 = 13.
2. kérdés
Oldd meg: 3x − 4 = 17, majd ellenőrizd!
Megoldás és magyarázat
3x = 21, ezért x = 7. Az eredetiben 3 · 7 − 4 = 17, így a megoldás helyes.