Törtek és műveletek
Először ugyanakkora részekben gondolkodunk; ebből értjük meg a törtek összehasonlítását és a törtműveleteket.
Részletes leckék és gyakorlópéldák (1) →
Alapfogalmak, példákkal
Tört, számláló és nevező
Az a/b tört az a és b hányadosa, b nem lehet nulla. Egy egész részeinek szemléltetésében a pozitív nevező a felosztást, a számláló a kiválasztott részek számát jelöli.
A 3/4 három negyedet jelent. A 5/4 öt negyed, tehát nagyobb egynél.
Egyenértékű alak és közös nevező
Bővítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk. Közös nevezővel a törteket azonos méretű részekben írjuk le.
1/2 = 2/4, ezért 1/2 + 1/4 = 3/4.
Tizedes tört
A tizedes alak a tízes helyiérték-rendszerrel írja le a számot. A tizedesvessző utáni helyeken tizedek, századok, ezredek állnak.
0,375 = 375/1000 = 3/8. Az 1/3 tizedes alakja végtelen szakaszos; 0,33 csak közelítés.
A lecke végére: Megérted a közös nevező szükségességét, és a törtműveletek eredményét ellenőrzöd.
Értsd meg az összefüggést!
A nevező egy rész méretét határozza meg. Egy fél és egy negyed különböző méretű részek, ezért összeadás előtt ugyanakkora részekkel kell számolnunk.
Az egy fél két negyed, így 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4. A bővítés nem változtatja meg a mennyiséget: ugyanazt az egészet kisebb részekre osztja.
Szorzásnál más a gondolat: a „félnek a háromnegyede” a fél részmennyiség további felosztását jelenti. Ezért 1/2 · 3/4 = 3/8.
A két művelethez nem ugyanaz a szabály tartozik. Törttel osztáskor azt keressük, hányszor fér bele az osztó az osztandóba.
A tizedes tört is tört: 0,25 huszonöt század, tehát 25/100 = 1/4. Pontos értéket csak pontos átalakítással adj meg; például 1/3 nem egyenlő 0,33-mal, csak megközelítőleg annyi.
Nézzük meg egy példán!
Közös nevezővel könnyebb
- Feladat
2/3 + 1/4
- Közös nevező
8/12 + 3/12
- Összeg
11/12
A legfontosabb szabályok
- Bővítéskor és egyszerűsítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nem nulla számmal változtasd.
- Vegyes számot művelet előtt alakíts tört alakra.
- Az eredményt egyszerűsítsd, és ha kell, alakítsd vegyes számmá.
Mintapélda és megoldás lépésről lépésre
Feladat: 3/4 + 1/6.
1. A 4 és a 6 közös többszöröse 12.
2. Bővítünk: 3/4 = 9/12 és 1/6 = 2/12.
3. Összeadunk: 9/12 + 2/12 = 11/12.
Az eredmény kisebb 1-nél, mert az egészhez hiányzó 1/4-nél kevesebb, 1/6 került hozzá.
Részletes magyarázatok és példák
01A tört részei és szemléltetése+
A 3/4 három negyedet jelent: egy egészet négy egyenlő részre osztunk, és hármat veszünk. A számegyenesen az egységszakaszt is négyfelé oszthatod.
Az 5/4 egy egész és még egy negyed; a nevező nem lehet nulla.
02Bővítés, egyszerűsítés és összehasonlítás+
Bővítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk: 2/3 = 8/12. Egyszerűsítéskor közös osztóval osztjuk őket: 6/8 = 3/4.
Közös pozitív nevező mellett a nagyobb számlálóhoz nagyobb tört tartozik.
03Törtek összeadása és kivonása+
Összeadni és kivonni azonos méretű részeket tudunk, ezért közös nevezőre hozunk. A 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
Csak a számlálókat adjuk össze; a nevező a részek méretét jelöli, ezért változatlan marad.
04Törtek szorzása és osztása+
Szorzásnál a számlálókat és a nevezőket szorozzuk: 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5. Nem nulla törttel osztani a reciprokával való szorzás: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 5/6.
Nulla reciprokát nem értelmezzük.
05Tört, tizedes tört és vegyes szám átalakítása+
A tizedes tört helyi értékes írásmód: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Törtből tizedes alakot osztással kapsz: 3 : 8 = 0,375.
Vegyes számnál 2 és 1/3 = 2 + 1/3 = 7/3. Nem minden törtnek véges a tizedes alakja: 1/3 = 0,333….
Lépésről lépésre, részletesen
Törtek, tizedes törtek és műveletek+
- A szabályt új helyzetben alkalmazni.
- Megoldást követhető lépésekben leírni és ellenőrizni.
Egyszerűsítéskor számlálót és nevezőt ugyanazzal a nemnulla számmal osztjuk, bővítéskor szorozzuk. Összeadásnál és kivonásnál közös nevező kell.
Szorzásnál a számlálók és nevezők szorzódnak, törttel osztásnál a reciprokával szorzunk.
Tizedes alak
A tizedesjegyek tizedet, századot, ezredet jelölnek. 0,35=35/100=7/20. Összeadásnál tizedesvesszőket írunk egymás alá.
Természetes számmal szorzás és osztás helyi értékkel értelmezhető. Felsőbb szinten két tizedes tört szorzását és osztását is gyakoroljuk.
Becslés és sorrend
1/2+1/3 nagyobb 1/2-nél, de kisebb 1-nél. A 3/4·2 eredménye 1,5, tehát szorzás nem mindig növel, ha a szorzó kisebb 1-nél.
A véges és végtelen szakaszos tizedes alak racionális; a periódus nem azonos a kerekített kiírással.
Kidolgozott példa
Számítsd ki 3/4−1/6-ot!
Közös nevező 12.
3/4=9/12, 1/6=2/12.
Különbség 7/12, ami 0 és 3/4 között van.
- A válaszhoz a feladatban kért mennyiség és mértékegység is tartozik.
Próbáld ki önállóan!
Egy újabb kidolgozott példa
Egy üvegben 3/4 liter szörp van. Ebből 1/6 litert kitöltünk.
Mennyi marad?
A negyedeket és hatodokat tizenkettedekre alakítjuk: 3/4 = 9/12, 1/6 = 2/12.
Kivonunk: 9/12 − 2/12 = 7/12 liter. A nevező a közös részméretet jelöli, ezért változatlan.
Ellenőrzés: 7/12 + 2/12 = 9/12 = 3/4. A maradék pozitív és kisebb a kezdeti mennyiségnél.
Ellenőrizd, hogy megértetted!
1. kérdés
Miért hibás a 3/4 − 1/6 = 2/2 levezetés?
Megoldás és magyarázat
A számlálók és a nevezők külön kivonása megváltoztatja a részek méretét. Közös nevezővel kell kivonni; a helyes eredmény 7/12.
2. kérdés
Igaz-e, hogy 2/3 + 1/6 = 3/9?
Megoldás és magyarázat
Nem. Közös nevezővel 2/3 = 4/6, így az összeg 5/6.
A nevezők összeadása különböző méretű részeket keverne össze.